Question

Разложите многочлен на множители a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc

Answer 1

a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+c(a+b)^2-4abc=ab^2+2abc+ac^2+bc^2+2abc+ba^2+c(a+b)^2-4abc=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+c(a+b)^2=c^2(a+b)+ab(b+a)+c(a+b)^2

В конечном итоге вынесем за скобку (a+b) =>

(a+b)(c^2+ab+c(a+b))=(a+b)(c^2+ab+ac+ab)

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем данное выражение:

a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc

Раскроем квадраты:

a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc

Теперь сложим многочлены с похожими переменными:

ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + b^2c + a^2c + ac^2 + b^2a + c^2a + abc + a^2b + b^2c - 4abc

Теперь упростим:

ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + b^2a + c^2a + a^2b + b^2c

Теперь факторизуем общие множители:

a(b^2 + c^2 + 2bc) + b(c^2 + a^2 + 2ac) + c(a^2 + b^2 + 2ab)

Теперь раскроем скобки внутри каждой скобки:

ab^2 + ac^2 + 2abc + bc^2 + ba^2 + 2bac + ca^2 + cb^2 + 2cab

Объединим подобные члены:

ab^2 + ba^2 + ac^2 + ca^2 + bc^2 + cb^2 + 2abc + 2bac + 2cab

Теперь сгруппируем слагаемые с общими множителями:

b(a^2 + c^2 + 2ac) + c(a^2 + b^2 + 2ab) + 2abc

Теперь снова факторизуем общие множители:

b(a+c)^2 + c(a+b)^2 + 2abc

Итак, после факторизации многочлена получаем:

b(a+c)^2 + c(a+b)^2 + 2abc