Question

Найдите максимальное значение х0+у0, где х0 и у0- решение системы уравнений 4х^2-7ху+7у^2=4 3х^2+2ху-2у^2=3

Answer 1

1) Умножив первое уравнение на 2, а второе на 7, получим систему:

8*x²-14*x*y+14*y²=8
21*x²+14*x*y-14*y²=21

2) Складывая полученные уравнения, приходим к уравнению 29*x²=29. Отсюда x²=1,x1=1, x2=-1.

3) Подставляя x1=1 в первое уравнение исходной системы, получаем уравнение 4-7*y+7*y²=4, или y²-y=0. Отсюда y1=0, y2=1 и мы находим первые две пары решений системы: (1,0) и (1,1)

4) Подставляя теперь x2=-1 в первое уравнение системы, получаем уравнение 4+7*y+7*y²=4, или y²+y=0. Отсюда y3=0, y4=-1 и мы находим другие две пары решений системы: (-1,0) и (-1,-1).

5) Из всех 4-х пар решений наибольшую сумму имеет вторая. Обозначая x0=1 и y0=1, находим x0+y0=2.

Ответ: 2

Answer 2

Для нахождения максимального значения x0 + y0, где x0 и y0 - решения системы уравнений, нужно решить данную систему и найти значения x0 и y0, затем сложить их и найти максимальное значение.

Дана система уравнений:

1. 4x^2 - 7xy + 7y^2 = 4
2. 3x^2 + 2xy - 2y^2 = 3

Давайте решим эту систему методом подстановки.

Из второго уравнения выразим x: 3x^2 + 2xy - 2y^2 = 3 3x^2 = 3 - 2xy + 2y^2 x^2 = (3 - 2xy + 2y^2)/3 x = ±sqrt((3 - 2xy + 2y^2)/3)

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение: 4((3 - 2xy + 2y^2)/3) - 7xy + 7y^2 = 4 (4/3)(3 - 2xy + 2y^2) - 7xy + 7y^2 = 4 4 - (8/3)xy + (8/3)y^2 - 7xy + 7y^2 = 4

Теперь упростим это уравнение: (8/3)y^2 - (8/3)xy - 7xy + 7y^2 = 0 (8/3)y^2 + (7 - (8/3)x)y - 7xy = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 8/3, b = 7 - (8/3)x, c = -7x

D = (7 - (8/3)x)^2 - 4(8/3)(-7x) D = (49 - 2(7)(8/3)x + (64/9)x^2) + (224/3)x D = 49 - (112/3)x + (64/9)x^2 + (224/3)x D = 49 - (112/3)x + (64/9)x^2 + (224/3)x D = 49 - (112/3)x + (64/9)x^2 + (224/3)x D = 49 + (64/9)x^2 - (112/3)x + (224/3)x

Теперь найдем значения x, при которых D = 0, чтобы найти соответствующие значения y: 64/9x^2 - (112/3)x + (224/3)x = -49

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дробей: 64x^2 - 336x + 224x = -441

64x^2 - 112x - 441 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для x с помощью квадратного корня:

D = (-112)^2 - 4(64)(-441) D = 12544 + 112896 D = 125440

x1 = [112 + sqrt(125440)] / (2*64) x1 = [112 + 352] / 128 x1 = 464 / 128 x1 = 29/8

x2 = [112 - sqrt(125440)] / (2*64) x2 = [112 - 352] / 128 x2 = (-240) / 128 x2 = -15/8

Теперь найдем соответствующие значения y с использованием уравнения (8/3)y^2 + (7 - (8/3)x)y - 7xy = 0:

Для x1 = 29/8: (8/3)y^2 + (7 - (8/3)(29/8))y - 7(29/8)y = 0 (8/3)y^2 + (7 - (29/3))y - (203/8)y = 0 (8/3)y^2 - (16/3)y - (203/8)y = 0 (8/3)y^2 - (16/3)y - (203/8)y = 0

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей: 8y^2 - 16y - (609/8)y = 0 8y^2 - (16 + 609/8)y = 0 8y^2 - (128/8 + 609/8)y = 0 8y^2 - (737/8)y = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для y с помощью квадратного корня:

D = (-737/8)^2 - 4(8)(0) D = (737^2/8^2) - 0 D = (737^2/64)

y1 = [737/8 + sqrt(D)] / (2*8) y1 = [737/8 + sqrt(737^2/64)] / 16

y2 = [737/8 - sqrt(D)] / (2*8) y2 = [737/8 - sqrt(737^2/64)] / 16

Теперь для x2 = -15/8: (8/3)y^2 + (7 - (8/3)(-15/8))y - 7(-15/8)y = 0 (8/3)y^2 + (7 + 5/3)y + (105/8)y = 0 (8/3)y^2 + (21/3 + 5/3)y + (105/8)y = 0 (8/3)y^2 + (26/3)y + (105/8)y = 0

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей: 8y^2 + 26y + (105/8)y = 0 8y^2 + (24/3)y + (105/8)y = 0 8y^2 + (72/24)y + (105/8)y = 0 8y^2 + (177/24)y = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для y с помощью квадратного корня:

D = (177/24)^2 - 4(8)(0) D = (177^2/24^2) - 0 D = (177^2/576)

y3 = [-177/24 + sqrt(D)] / (2*8) y3 = [-177/24 + sqrt(177^2/576)] / 16

y4 = [-177/24 - sqrt(D)] / (2*8) y4 = [-177/24 - sqrt(177^2/576)] / 16

Теперь найдем x0 + y0 для каждой из комбинаций значений x и y:

Для x1 и y1: x1 + y1 = (29/8) + [737/8 + sqrt(737^2/64)] / 16

Для x2 и y2: x2 + y2 = (-15/8) + [737/8 - sqrt(737^2/64)] / 16

Для x2 и y2: x3 + y3 = (29/8) + [-177/24 + sqrt(177^2/576)] / 16

Для x2 и y2: x4 + y4 = (-15/8) + [-177/24 - sqrt(177^2/576)] / 16

Теперь вычислим каждое из этих значений:

x1 + y1 ≈ 12.53 x2 + y2 ≈ -0.79 x3 + y3 ≈ 11.96 x4 + y4 ≈ -16.07

Максимальное значение x0 + y0 равно 12.53.