Question

Докажите что сумма двух последовательных степеней числа 3 делится нацело на 12

Answer 1

$3^n+3^{n+1}=3^n+3^n*3=3^n(1+3)=3^n*4$
таким образом получаем произведение, которое содержит произведение множителей тройки и четвёрки, т.е. числа, делящегося на 12.

Answer 2

Для доказательства того, что сумма двух последовательных степеней числа 3 делится нацело на 12, давайте рассмотрим каждую степень числа 3 и проверим их остатки при делении на 12.

Первая степень числа 3: 3^1 = 3. Остаток от деления 3 на 12 равен 3.

Вторая степень числа 3: 3^2 = 9. Остаток от деления 9 на 12 равен 9.

Теперь посмотрим на сумму двух последовательных степеней числа 3: 3^1 + 3^2 = 3 + 9 = 12. Очевидно, что сумма равна 12.

Таким образом, мы видим, что сумма двух последовательных степеней числа 3 (3^1 + 3^2) действительно делится нацело на 12.

Давайте рассмотрим другой способ доказательства этого факта, используя индукцию.

Доказательство по индукции:

Шаг 1: Проверяем базовый случай - n = 1.

При n = 1, имеем 3^1 = 3. Очевидно, что 3 делится нацело на 12.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого k, т.е. сумма двух последовательных степеней числа 3 (3^k + 3^(k+1)) делится нацело на 12.

Шаг 3: Докажем, что утверждение верно для k + 1.

Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 3 (3^(k+1) + 3^(k+2)):

3^(k+1) + 3^(k+2) = 3 * 3^k + 3 * 3^(k+1) = 3 * (3^k + 3^(k+1)).

Мы знаем, что сумма двух последовательных степеней числа 3 (3^k + 3^(k+1)) делится нацело на 12 (по предположению индукции). Таким образом, сумма 3 * (3^k + 3^(k+1)) также делится нацело на 12.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k + 1.

Поскольку утверждение верно для n = 1 (базовый случай), и оно выполняется для любого k, следовательно, оно верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что сумма двух последовательных степеней числа 3 делится нацело на 12.