Question

Решите неравенства. Соотнесите свои ответы с названиями промежутков. 1) х2+2х+10 ˃ 0; 2) х2 -12х+36 ≤ 0;3) х2+3х+2 ≥ 0;4) х2 - 9 ≤ 0;a) Неравенство не имеет решенийb) Решением неравенства является вся числовая прямаяc) Решением неравенства является одна точка.d) Решением неравенства является закрытый промежуток.e) Решением неравенства является открытый промежуток.f) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

Answer 1

Ответ:

1.

${x}^{2} + 2x + 10 > 0 \\ D = 4 - 40 < 0$

нет корней

Парабола выше оси ОХ, все у > 0

b. Вся числовая прямая

2.

$x {}^{2} - 12x + 36 \leqslant 0 \\ (x - 6) {}^{2} \leqslant 0 \\ x = 6$

Пересечение с осью ОХ в точке х = 6, ветки параболы выше ОХ. Единственное решение, где у = 0 в точке х = 6

с. Одна точка

3.

${x}^{2} + 3x + 2 \geqslant 0 \\ D = 9 - 8 = 1 > 0$

2 корня

Ветки параболы направлены вверх, у>=0 на двух промежутках

f. Объединение двух промежутков

4.

${x}^{2} - 9 \leqslant 0 \\ (x - 3)(x + 3) \leqslant 0 \\ + \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 3)- - 3- - > \\ x\in[- 3;3]$

d. Закрытый промежуток

Answer 2

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Решите неравенства. Соотнесите свои ответы с названиями промежутков.

1) х²+2х+10 ˃ 0;

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² + 2х + 10 = 0

D=b²-4ac =4 - 40 = -36        

D < 0

Уравнение не имеет действительных корней.

Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.  

Подставить в неравенство произвольное значение х:  

х = 0;

0 + 0 + 10 > 0, выполняется.

Значит, неравенство верно при любом значении х.

Решение неравенства х∈(-∞; +∞).   Ответ b).

2) х² -12х+36 ≤ 0;

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² - 12х + 36 = 0

D=b²-4ac =144 - 144 = 0         √D=0

х₁,₂=(-b±√D)/2a

х₁,₂=(12±0)/2

х₁,₂=6.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, парабола "стоит" на оси Ох.  

Решение неравенства x={5}. Ответ c). Скобка фигурная.

3) х²+3х+2 ≥ 0;

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² + 3х + 2 = 0

D=b²-4ac =9 - 8 = 1         √D=1

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-3-1)/2

х₁= -4/2

х₁= -2;                  

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(-3+1)/2

х₂= -2/2

х₂= -1.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х = -2 и х = -1.  

Решение неравенства: х∈(-∞; -2]∪[-1; + ∞). Ответ f.

Неравенство нестрогое, скобка квадратная, а знаки бесконечности всегда с круглой скобкой.

4) х² - 9 ≤ 0;

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² - 9 = 0   неполное квадратное уравнение

х² = 9

х = ±√9

х₁ = -3;

х₂ = 3.  

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х = -3 и х = 3.  

Решение неравенства: х∈[-3; 3]. Ответ d).

a) Неравенство не имеет решений

b) Решением неравенства является вся числовая прямая

c) Решением неравенства является одна точка.

d) Решением неравенства является закрытый промежуток.

e) Решением неравенства является открытый промежуток.

f) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

Answer 3

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1) \(x^2 + 2x + 10 > 0\)

Дискриминант этого квадратного трехчлена \(D = 2^2 - 4(1)(10) = -36\), что означает, что уравнение не имеет вещественных корней. Значит, он всегда больше нуля. Решением этого неравенства является вся числовая прямая (b).

2) \(x^2 - 12x + 36 ≤ 0\)

Этот квадратный трехчлен можно представить в виде \((x - 6)^2\). Уравнение имеет единственный корень при \(x = 6\). Так как он меньше или равен нулю при \(x = 6\), решением неравенства является одна точка, а именно точка \(x = 6\) (c).

3) \(x^2 + 3x + 2 ≥ 0\)

Этот квадратный трехчлен можно факторизовать в \((x + 1)(x + 2)\). Уравнение имеет корни при \(x = -1\) и \(x = -2\). Неравенство выполняется или при \(x \leq -2\), или при \(-1 \leq x\). Решением неравенства является объединение двух промежутков: \([-2, -1]\) (f).

4) \(x^2 - 9 ≤ 0\)

Этот квадратный трехчлен можно представить в виде \((x - 3)(x + 3)\). Уравнение имеет корни при \(x = -3\) и \(x = 3\). Неравенство выполняется при \(-3 \leq x \leq 3\). Решением неравенства является закрытый промежуток \([-3, 3]\) (d).