Question

Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. а) -х2 + 64<0 b) х2 +10x+9≤0 c) х2 +18х+81<0 d) - х2 +13х-22≥0 1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая. 3) Решением неравенства является одна точка. 4) Решением неравенства является закрытый промежуток. 5) Решением неравенства является открытый промежуток. 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков. [8] 2. Неравенство (x-а)( х+ b)(4х+32 ) > 0 имеет решение (∞;-8)(-3;2). Найдите значения a и b. [2] 3. Решите систему неравенств: Решите систему неравенств:{5 х +11 х+6>0 [5]9 х−18 ≤ 0 } без приколов ато бан аккаунта от админа

Answer 1

1 задание

a

$- {x}^{2} + 64 < 0 \\ {x}^{2} - 64 > 0 \\ x = \pm8 \\ + \: \: \: \: \: - \: \: \: \: + \\ - -( - 8) - -8 - - > \\ x\in( - \infty; - 8)U(8 ;+ \infty )$

6. Объединение двух промежутков

б

${x}^{2} + 10x + 9 \leqslant 0 \\ D = 100 - 36 = 64 \\ x_1 = \frac{ - 10 + 8}{2} = - 2 \\ x_2 = - 9 \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - -( - 9) - - ( - 2) - - > \\ x\in[- 9; - 2]$

4. Закрытый промежуток

с

${x}^{2} + 18x + 81 < 0 \\ {x}^{2} + 2 \times x \times 9 + {9}^{2} < 0 \\ (x + 9) {}^{2} < 0$

Функция с осью ОХ имеет общую точку -9, но она является выколотой. Отрицательных у нет.

1. Нет решений

d

$- {x}^{2} + 13x - 22 \geqslant 0 \\ {x}^{2} - 13x + 22 \leqslant 0 \\ D = 169 - 88 = 81 \\ x_1 = \frac{13 + 9}{2} = 11 \\\ x_2 = 2 \\ \\ + \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - 2 - -11 - - > \\ x\in[2;11]$

4. Закрытый промежуток

2 задание

$(x - a)(x + b)(4x + 32) > 0 \\ \\ 4x + 32 = 0 \\ x = - 8$

Осталось еще две точки: -3 и 2

$x - a = 0 \\ \\ x_1 = - 3 \\ - 3 - a = 0 \\ a_1 = - 3 \\ \\ x_2 = 2 \\ 2 - a = 0 \\ a_2 = 2 \\ \\ \\ \\ x + b = 0 \\ \\ x_2 = 2 \\ 2 + b = 0 \\ b_1 = - 2 \\ \\ x_1 = - 3 \\ - 3 + b = 0\\ b_2 = 3$

Ответ: а = -3, b = -2 или а = 2, b = 3

3 задание

$\left \{ {{5x {}^{2} + 11x + 6 > 0 } \atop {9x - 18 \leqslant 0} } \right. \\ \\ 1)5 {x}^{2} + 11x + 6 > 0 \\ D = 121 - 120 = 1 \\ x_1 = \frac{ - 11 + 1}{10} = - 1 \\ x_2 = - 1.2 \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 1.2) - -( - 1) - > \\ x\in( - \infty; - 1.2)U( - 1 ;+ \infty ) \\ \\ 2)9x - 18 \leqslant 0 \\ x \leqslant 2$

Пересекаем оба решения.

Ответ:

$x\in( - \infty ;- 1.2)U( - 1;2]$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из этих неравенств и задач по очереди:

1. а) -x^2 + 64 < 0: Начнем с этого неравенства. Давайте найдем корни уравнения -x^2 + 64 = 0. Мы можем переписать его как x^2 = 64 и взять квадратный корень с обеих сторон. Получаем x = ±8. Это значит, что неравенство имеет корни в точках x = -8 и x = 8. Затем, обратите внимание на то, что у нас знак "< 0", что означает, что нам нужны значения x, при которых выражение меньше нуля. Это происходит между x = -8 и x = 8. Таким образом, решением этого неравенства является открытый интервал (-8, 8). Ответ: 5) Решением неравенства является открытый промежуток.

   б) x^2 + 10x + 9 ≤ 0: Это квадратное неравенство можно разложить на множители: (x + 9)(x + 1) ≤ 0. Затем мы видим, что у нас есть множители (x + 9) и (x + 1), которые меняют знак при x = -9 и x = -1. Теперь мы можем использовать метод интервалов для определения, в каких интервалах неравенство выполняется:

   • Если x < -9, оба множителя отрицательны, и произведение положительно.
   • Если -9 < x < -1, первый множитель отрицателен, а второй положителен, и произведение отрицательно.
   • Если -1 < x, оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

   Таким образом, неравенство выполняется на интервалах x < -9 и -1 < x, и решением является объединение этих интервалов. Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

   в) x^2 + 18x + 81 < 0: Это квадратное неравенство можно записать как (x + 9)^2 < 0. Мы видим, что у нас есть квадратное выражение, которое всегда неотрицательно. Таким образом, нет таких значений x, при которых оно будет меньше нуля. Неравенство не имеет решений. Ответ: 1) Неравенство не имеет решений.

   г) -x^2 + 13x - 22 ≥ 0: Это квадратное неравенство можно записать как -(x - 2)(x - 11) ≥ 0. Затем мы видим, что у нас есть множители (x - 2) и (x - 11), которые меняют знак при x = 2 и x = 11. Теперь мы можем использовать метод интервалов для определения, в каких интервалах неравенство выполняется:

   • Если x < 2, оба множителя положительны, и произведение положительно.
   • Если 2 < x < 11, первый множитель положителен, а второй отрицателен, и произведение отрицательно.
   • Если x > 11, оба множителя отрицательны, и произведение снова положительно.

   Таким образом, неравенство выполняется на интервалах x < 2 и 11 < x, и решением является объединение этих интервалов. Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

2. Для неравенства (x - a)(x + b)(4x + 32) > 0 с решением (-8; ∞)(-3; 2), мы можем использовать метод интервалов для определения значений a и b:

   • У нас есть корни -8 и -3, и значения между ними являются решением неравенства.
   • Таким образом, (-8; -3) и (2; ∞) должны быть интервалами, где выражение положительно.
   • Поскольку (x - a) и (4x + 32) всегда положительны, мы видим, что (x + b) также должно быть положительным на этих интервалах.
   • Итак, b должно быть положительным числом.

3. Решим систему неравенств: 5x + 11 > 0 и 9x - 18 ≤ 0. Давайте начнем с первого неравенства, 5x + 11 > 0:

   • Вычитаем 11 с обеих сторон: 5x > -11.
   • Делим на 5: x > -11/5. Это означает, что x должен быть больше чем -11/5.

   Теперь рассмотрим второе неравенство, 9x - 18 ≤ 0:

   • Добавляем 18 с обеих сторон: 9x ≤ 18.
   • Делим на 9: x ≤ 2. Это означает, что x должен быть меньше или равен 2.

   Таким образом, решением системы неравенств является интервал -11/5 < x ≤ 2.