Question

Разложите на множители x(y^2 −z^2)+y(z^2 −x^2)+z(x^2 −y^2).

Answer 1

x(y² - z²) + y(z² - x²) + z(x² - y²) = xy² - x²y + x²z - y²z + yz² - xz² =

= (xy² - x²y + xyz - y²z) + (x²z + yz² - xyz - xz²) =

= y(xy - x² + xz - yz) + z(x² + yz - xy - xz) =

= y(xy - x² + xz - yz) - z(xy - x² + xz - yz) = (y - z)(xy - x² + xz - yz) =

= (y - z)(x(y - x) - z(y - x)) = (y - z)(x - z)(y - x)

Answer 2

Выражение, которое нужно разложить на множители, имеет вид: x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2) Для удобства выполним раскрытие скобок: xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2 Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные: xy^2 - yx^2 + zx^2 - zx^2 - zy^2 + yz^2 Заметим, что у нас есть пары слагаемых, в которых переменные присутствуют с разными знаками. Используя формулу разности квадратов, можем преобразовать эти пары: y(x^2 - y^2) - z(x^2 - z^2) + z(y^2 - z^2) Теперь выделяем общий множитель внутри каждой пары скобок: y(x - y)(x + y) - z(x - z)(x + z) + z(y - z)(y + z) Как видим, получилось разложение исходного выражения на множители: (x - y)(x + y)y - (x - z)(x + z)z + (y - z)(y + z)z Таким образом, исходное выражение разложено на множители: (x - y)(x + y)y - (x - z)(x + z)z + (y - z)(y + z)z