Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений а) y''+y'-6y=0 б)y''-6y'+9y=0

Answer 1

......................

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения, необходимо решить его характеристическое уравнение и использовать полученные корни для построения общего решения.

а) Дифференциальное уравнение y'' + y' - 6y = 0: Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, заменив производные соответствующими символами: r^2 + r - 6 = 0

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение: (r + 3)(r - 2) = 0 Из этого следует, что r1 = -3 и r2 = 2.

Шаг 3: Используем полученные корни для построения общего решения: y(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

б) Дифференциальное уравнение y'' - 6y' + 9y = 0: Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, заменив производные соответствующими символами: r^2 - 6r + 9 = 0

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение: (r - 3)^2 = 0 Из этого следует, что r = 3 (корень кратности 2).

Шаг 3: Используем полученный корень для построения общего решения: y(x) = (C1 + C2 * x) * e^(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, общие решения данных дифференциальных уравнений будут: а) y(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(2x), б) y(x) = (C1 + C2 * x) * e^(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.