Question

5.138. Разложите на множители 1)а⁴-б⁴2)а⁶-б⁶ 3)а⁸-б⁸4)а⁴+а³+а+15)(а+б)³-(а-б)³6)(а+б)⁴-(а-б)⁴помогите с дз​

Answer 1

Ответ:

Разложить на множители .

Применяем формулы разности квадратов  $\bf x^2-y^2=(x-y)(x+y)$  и

формулы разности и суммы кубов  $\bf x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2)$  .

$\bf 1)\ \ a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\\\\\\2)\ \ a^6- b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)\\\\\\3)\ \ a^8-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=\\\\=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\\\\\\4)\ \ a^4+a^3+a+1=a^3(a+1)+(a+1)=(a+1)(a^3+1)=\\\\=(a+1)(a+1)(a^2-a+1)=(a+1)^2(a^2-a+1)\\\\\\5)\ \ (a+b)^3-(a-b)^3=\Big((a+b)-(a+b)\Big)\Big((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2\Big)=\\\\=2b\Big(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2\Big)=2b\Big(3a^2+b^2\Big)$

6)  Применяем разложение на множители, записанное в 1) пункте .

$\bf (a+b)^4-(a-b)^4=\\\\=\Big((a+b)-(a-b)\Big)\Big((a+b)+(a-b)\Big)\Big((a+b)^2+(a-b)^2\Big)=\\\\=2b\cdot 2a\cdot \Big(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2)=\\\\=4ab\cdot \Big(2a^2+2b^2\Big)=8ab\cdot \Big(a^2+b^2\Big)$

Answer 2

Давайте разложим каждое из выражений на множители.

1. a⁴ - b⁴: Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле a² - b² = (a + b)(a - b). Применим эту формулу дважды:

a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²)

Теперь разложим a² - b²:

a² - b² = (a + b)(a - b)

Итак, разложение a⁴ - b⁴ на множители:

a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a + b)(a - b)

2. a⁶ - b⁶: Это также разность кубов, которую можно разложить по формуле a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Применим эту формулу дважды:

a⁶ - b⁶ = (a³ - b³)(a³ + b³ + ab)

Теперь разложим a³ - b³ и a³ + b³:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Итак, разложение a⁶ - b⁶ на множители:

a⁶ - b⁶ = (a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² - ab + b²)

3. a⁸ - b⁸: Это разность четвертых степеней, которую можно разложить по формуле a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a⁴ - a²b² + b⁴). Применим эту формулу:

a⁸ - b⁸ = (a⁴ - b⁴)(a⁴ + a²b² + b⁴)

Теперь разложим a⁴ - b⁴:

a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²)

Итак, разложение a⁸ - b⁸ на множители:

a⁸ - b⁸ = (a² + b²)(a² - b²)(a⁴ + a²b² + b⁴)

4. a⁴ + a³ + a + 15: Это уравнение сложнее разложить на множители, потому что оно не является разностью степеней. Возможно, оно не имеет простого разложения на множители в виде линейных множителей. Нам необходимо попробовать различные подходы, но в данном случае разложение может быть нетривиальным.

5. (а+б)³ - (а-б)³: Это разность кубов, которую мы можем разложить по формуле a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Применим эту формулу:

(а+б)³ - (а-б)³ = [(а+б) - (а-б)] [(а+б)² + (а+б)(а-б) + (а-б)²] (а+б)³ - (а-б)³ = [2б] [(а+б)² + (а² - б²) + (а-б)²]

Теперь разложим квадраты:

(а+б)² = a² + 2ab + b² (а-б)² = a² - 2ab + b²

Итак, разложение (а+б)³ - (а-б)³ на множители:

(а+б)³ - (а-б)³ = 2б [a² + 2ab + b² + a² - б² + a² - 2ab + b²] (а+б)³ - (а-б)³ = 2б [3a² + 2b² - б²]

6. (а+б)⁴ - (а-б)⁴: Это разность четвертых степеней, которую мы можем разложить по формуле a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²). Применим эту формулу:

(а+б)⁴ - (а-б)⁴ = [(а+б)² + (а-б)²] [(а+б)² - (а-б)²]

Теперь разложим квадраты:

(а+б)² = a² + 2ab + b² (а-б)² = a² - 2ab + b²

Итак, разложение (а+б)⁴ - (а-б)⁴ на множители:

(а+б)⁴ - (а-б)⁴ = [a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b²] [a² + 2ab + b² - (a² - 2ab + b²)] (а+б)⁴ - (а-б)⁴ = [2a² + 2b²] [4ab]

Надеюсь, это помогло вам разложить данные выражения на множители.