Question

найдите наименьшее значение функции y=e^2x-2e^x+8 на отрезке [-2;1]

Answer 1

A. Относительно экспоненты имеем квадратичную функцию y(t)=t^2-2t+8=(t-1)^2+7

Наименьшее значение этой функции при t=1 y(t=1)=7

 

Т.к. решение уравнения e^x=1 (т.е. x=0) попадает в отрезок [-2, 1], то наименьшее значение как раз и равно найденному.

 

B. y'(x)=2exp(2x)-2exp(x)=2exp(x)*(e^x-1)=0 при x=0. В точке x=0 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это - точка минимума.

Наменьшее значение y(0)=7.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y=e^(2x)-2e^x+8 на отрезке [-2;1] нужно использовать метод дифференциального исчисления. Давайте начнем с нахождения производной функции, чтобы определить ее экстремумы.

Нахождение производной функции

Функция y=e^(2x)-2e^x+8 имеет два слагаемых, содержащих экспоненты. Для нахождения производной этой функции, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования экспоненты:

y' = (e^(2x) - 2e^x)' = (e^(2x))' - (2e^x)' = 2e^(2x) - 2e^x.

Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек, где производная равна нулю или не существует, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

2e^(2x) - 2e^x = 0.

Решение уравнения

Факторизуем данное уравнение:

2e^x(e^x - 1) = 0.

Отсюда получаем два решения:

e^x = 0 (не имеет смысла, так как экспонента всегда положительна), и e^x - 1 = 0, что соответствует e^x = 1, откуда x = 0.

Определение экстремумов

Теперь, найдя критическую точку x = 0, мы можем определить, является ли она точкой минимума или максимума. Для этого можно воспользоваться второй производной, но так как у нас нет точек разрыва или точек, где производная не существует, то можно просто подставить значения функции в окрестности найденной точки.

y(-2) = e^(-4) - 2e^(-2) + 8 ≈ 0,018, y(0) = e^0 - 2e^0 + 8 = 7, y(1) = e^2 - 2e + 8 ≈ 9,39.

Из этого видно, что на отрезке [-2;1] наименьшее значение функции достигается в точке x = 0 и равно 7.