Question

Помогите вычислить интеграл ∫(6x-1)^3 dx

Answer 1

∫(6x-1)^3dx=1/6*∫u^3du=u^4/24+C=1/24*(6x-1)^4+C

u=6x-1

du=6dx

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(6x-1)^3 dx, используем метод интегрирования по степеням. Этот метод применяется для интегрирования функций вида (ax + b)^n, где a, b и n - константы.

Интеграл ∫(6x-1)^3 dx:

1. Раскроем скобки, чтобы получить функцию вида x^n: (6x-1)^3 = (6x)^3 - 3*(6x)^2 + 3*(6x) - 1

2. Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности: ∫(6x)^3 dx = 6^3 * ∫x^3 dx = 216 * (x^4 / 4) + C1 ∫-3*(6x)^2 dx = -3 * 6^2 * ∫x^2 dx = -108 * (x^3 / 3) + C2 ∫3*(6x) dx = 3 * 6 * ∫x dx = 18 * (x^2 / 2) + C3 ∫(-1) dx = -x + C4

где C1, C2, C3 и C4 - произвольные постоянные интегрирования.

3. Собираем все части вместе: ∫(6x-1)^3 dx = (216 * (x^4 / 4)) - (108 * (x^3 / 3)) + (18 * (x^2 / 2)) - x + C

где C - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ: ∫(6x-1)^3 dx = (54x^4) - (36x^3) + (9x^2) - x + C