Question

1. Интеграл 2dt/4t-6 2. Интеграл cosx dx/2sinx+3 3. Интеграл x^2d dx/1+x^2 4. Интеграл sinx dx/3-cosx 5. Интеграл x dx/корень из 4+3x^ Срочно, пожалуйста!!

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{2\, dt}{4t-6} =2\cdot \int \frac{\frac{1}{4}\cdot d(4t-6)}{4t-6} =2\cdot \frac{1}{4}\cdot ln|4t-6|+C\\\\ili\quad z=4t-6\; ,\; dz=4\cdot dt\; ,\; 2\cdot \frac{1}{4}\int \frac{dz}{z}=\frac{1}{2}ln|z|+C\\\\2)\; \; \int \frac{cosx\, dx}{2sinx+3} =\int \frac{\frac{1}{2}\cdot d(2sinx+3)}{2sinx+3} =\frac{1}{2}\cdot ln|2sinx+3|+C\\\\3)\; \; \int \frac{x^2\cdot dx}{1+x^2} =\int \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2} dx=\int (1-\frac{1}{1+x^2})dx=x-arctgx+C\\\\4)\; \; \int \frac{sinx\, dx}{3-cosx} =$$\int \frac{d(3-cosx)}{3-cosx} =ln|3-cosx|+C$

$5)\; \; \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{4+3x^2}} =\frac{1}{6}\cdot \int \frac{6x\cdot dx}{\sqrt{4+3x^2}} = \frac{1}{6} \cdot \int \frac{d(4+3x^2)}{\sqrt{4+3x^2}} = \frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{4+3x^2}+C$

Answer 2

1. Интеграл 2dt/(4t-6)

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом частичных дробей.

1. Разложим дробь на простые дроби: ``` 2dt/(4t-6) = A/(4t-6) ``` где A - неизвестная константа.

2. Приведем дробь к общему знаменателю: ``` A/(4t-6) = A/(2(2t-3)) ```

3. Решим уравнение: ``` A = 2 ```

4. Подставим найденное значение обратно в исходное уравнение: ``` 2dt/(4t-6) = 2/(2(2t-3)) ```

Теперь мы можем проинтегрировать полученное выражение: ``` ∫ 2dt/(4t-6) = ∫ 2/(2(2t-3)) dt ```

Выносим константу за знак интеграла: ``` ∫ 2dt/(4t-6) = 2 ∫ 1/(2t-3) dt ```

Производим замену переменной: ``` u = 2t-3 du = 2dt ```

Подставляем замену: ``` ∫ 2dt/(4t-6) = ∫ 1/u du ```

Интегрируем: ``` ∫ 2dt/(4t-6) = ln|u| + C ```

Возвращаемся к исходной переменной: ``` ∫ 2dt/(4t-6) = ln|2t-3| + C ```

Таким образом, интеграл ∫ 2dt/(4t-6) равен ln|2t-3| + C, где C - произвольная константа.