Question

Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии удовлетворяющих условию {b1+b2=12 {b3=2b4 Смотреть ответ Mrnngstr Mrnngstr Решение смотри на фото

Answer 1

Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию, удовлетворяющую условиям:

1. b1 + b2 = 12
2. b3 = 2b4

Для геометрической прогрессии общий вид членов можно записать как:

b1, b1 * r, b1 * r^2, b1 * r^3, ...

где b1 - первый член прогрессии, а r - множитель прогрессии.

Из условия b3 = 2b4 мы можем записать:

b1 * r^2 = 2 * (b1 * r^3)

Теперь давайте рассмотрим условие b1 + b2 = 12. Мы знаем, что b1 = b1, а b2 = b1 * r, поэтому:

b1 + b1 * r = 12

Мы можем выразить b1 через r:

b1 * (1 + r) = 12

Теперь у нас есть два уравнения:

1. b1 * (1 + r) = 12
2. b1 * r^2 = 2 * (b1 * r^3)

Давайте решим их одновременно. Сначала делим второе уравнение на первое:

(b1 * r^2) / (b1 * (1 + r)) = (2 * (b1 * r^3)) / 12

Упростим:

(r^2) / (1 + r) = (2 * (r^3)) / 12

Теперь умножим обе стороны на 12 и упростим:

12 * (r^2) = 2 * (r^3) * (1 + r)

12r^2 = 2r^3 + 2r^4

Теперь выразим r^2 через r:

12 = 2r + 2r^2

6 = r + r^2

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно r:

r^2 + r - 6 = 0

Давайте решим это уравнение с помощью квадратного корня. Для этого мы используем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 1, и c = -6:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

Теперь найдем два значения r:

r1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √25) / 2 = ( -1 + 5) / 2 = 4/2 = 2 r2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √25) / 2 = ( -1 - 5) / 2 = -6/2 = -3

Теперь у нас есть два возможных значения r: 2 и -3.

Сначала рассмотрим r = 2. Тогда из уравнения b1 * (1 + r) = 12:

b1 * (1 + 2) = 12 b1 * 3 = 12 b1 = 12 / 3 b1 = 4

Теперь мы знаем b1 и r, и можем найти первые четыре члена прогрессии:

b1 = 4 b2 = 4 * 2 = 8 b3 = 4 * 2^2 = 16 b4 = 4 * 2^3 = 32

Теперь найдем сумму первых четырех членов прогрессии:

Сумма = b1 + b2 + b3 + b4 = 4 + 8 + 16 + 32 = 60

Теперь давайте рассмотрим r = -3. Тогда из уравнения b1 * (1 + r) = 12:

b1 * (1 - 3) = 12 b1 * (-2) = 12 b1 = 12 / (-2) b1 = -6

Теперь мы знаем b1 и r, и можем найти первые четыре члена прогрессии:

b1 = -6 b2 = -6 * (-3) = 18 b3 = -6 * (-3)^2 = 54 b4 = -6 * (-3)^3 = -162

Теперь найдем сумму первых четырех членов прогрессии:

Сумма = b1 + b2 + b3 + b4 = -6 + 18 + 54 + (-162) = -96

Итак, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии, удовлетворяющей условиям b1 + b2 = 12 и b3 = 2b4, равна 60, если r = 2, и -96, если r = -3.