Question

Решите неравенство: х(х-1)(х+8)>0

Answer 1

(×^2-×)(×+8)>0 х^3+8×^2-×^2-8×>0 ×^3+7×^2-8×>0

Answer 2

Для решения неравенства $x(x-1)(x+8) > 0$, мы должны найти интервалы значений $x$, при которых неравенство выполняется.

Для начала найдем точки, где левая часть неравенства равна нулю, то есть когда $x(x-1)(x+8) = 0$:

1. $x = 0$
2. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
3. $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$

Эти три значения $x = 0$, $x = 1$ и $x = -8$ разбивают ось $x$ на четыре интервала:

1. $(-\infty, -8)$
2. $(-8, 0)$
3. $(0, 1)$
4. $(1, +\infty)$

Теперь для каждого интервала проверим знак выражения $x(x-1)(x+8)$:

1. Для $x < -8$, возьмем $x = -9$ (любое число меньше -8 подойдет): $(-9)(-9-1)(-9+8) = (-9)(-10)(-1) = -90 > 0$ Значит, неравенство выполняется в этом интервале.

2. Для $-8 < x < 0$, возьмем $x = -1$ (любое число между -8 и 0 подойдет): $(-1)(-1-1)(-1+8) = (-1)(-2)(7) = 14 > 0$ Значит, неравенство выполняется в этом интервале.

3. Для $0 < x < 1$, возьмем $x = \frac{1}{2}$ (любое число между 0 и 1 подойдет): $\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}+8\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{17}{2}\right) = -\frac{17}{4} < 0$ Значит, неравенство не выполняется в этом интервале.

4. Для $x > 1$, возьмем $x = 2$ (любое число больше 1 подойдет): $(2)(2-1)(2+8) = (2)(1)(10) = 20 > 0$ Значит, неравенство выполняется в этом интервале.

Итак, решением неравенства $x(x-1)(x+8) > 0$ является объединение интервалов $(-8, 0)$ и $(1, +\infty)$:

$x \in (-8, 0) \cup (1, +\infty)$