Question

РЕБЯТ, ЧЕТЫРЕ ЗАДАЧИ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ. я ВАС ОЧЕНЬ ПРОШУ, ПОМОГИТЕ. РЕШИТЕ ХОТЯ БЫ НЕСКОЛЬКО, КТО ХОРОШО В ЭТОМ РАЗБИРАЕТСЯ. ДАЮ 20 БАЛЛОВ.ПОДРОБНО ПОЖАЛУЙСТА, ЕСЛИ МОЖНО. 10,01. Произведение четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии на 60 больше произведения первого и девятого ее членов. Найти сумму первых трех членов прогрессии, если пятый член равен 4. 10,24. разность четвертого и первого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 26/3, а разность третьего и первого 8/3. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии. 10,29. знаменатель геометрической прогрессии равен 2 а сумма первых семи членов равна 635 Найдите седьмой член прогрессии. 10,31 найти сумму первых четырех членов убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член в 3 раза меньше чем произведение первого и четвертого, а сумма первого и третьего членов равна 15.

Answer 1

10.24
При возрастающей геометрической прогрессии:
b₁ >0,   q > 1.

b₄ - b₁ = 26/3
b₃ - b₁ = 8/3
S₅ - ?

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*q³-b₁=26/3        {b₁(q³ -1)=26/3   
{b₁*q² -b₁=8/3         {b₁(q² - 1)=8/3

b₁=   26                  b₁ =   8      
      3(q³-1)                    3(q²-1)
  26      =    8     
3(q³-1)    3(q²-1)
  26     =    8    
q³-1         q² -1
26(q² -1)= 8(q³ -1)
13(q-1)(q+1)= 4(q-1)(q²+q+1)
13(q-1)(q+1) - 4(q-1)(q²+q+1)=0
(q-1)(13(q+1) - 4(q²+q+1))=0
(q-1)(13q+13-4q²-4q-4)=0
(q-1)(-4q²+9q+9)=0
q-1=0                        -4q²+9q+9=0
q=1                             4q² -9q-9=0
не подходит               D=81+4*4*9=81+144=225
                                   q₁= 9-15 = -6/8= -3/4 - не подходит
                                           8
                                   q₂= 9+15 =3
                                            8
b₁ =      8       =     8     = 1/3
        3(3² -1)     3 * 8
b₅ = b₁*q⁴ = 1/3 * 3⁴ = 3³ = 27
S₅ = b₁ -b₅q =1/3 - 27*3 =  1-243    = -242  = 40 ²/₆ = 40 ¹/₃
          1-q           1-3              3*(-2)       -6
Ответ: 40 ¹/₃.

10.01
При возрастающей арифметической прогрессии  d>0.
А₅=4
А₄*А₆ - А₁*А₉ =60
S₃ -?

A₄=A₅ -d
A₆=A₅ +d
A₁=A₅ -4d
A₉=A₅+4d

(A₅-d)(A₅+d) - (A₅-4d)(A₅+4d)=60
A₅² - d² - A₅² +16d² =60
15d² =60
d² =4 
d= -2 - не подходит
d=2

A₁=4-4*2=4-8= -4
A₃= -4+2*2=-4+4=0
S₃= (A₁+A₃)*3 = 1.5*(-4+0)= -6
             2
Ответ: -6.

10.29
q=2
S₇=635
b₇ - ?

S₇= b₁(q⁷ -1) = b₁ (2⁷ -1) = b₁ (128-1) = 127 b₁
           q-1            2-1
127 b₁ = 635
b₁ = 635/127
b₁ = 5

b₇ = b₁*q⁶
b₇ = 5*2⁶ = 5*64 = 320
Ответ: 320

10.31
|q|<1 - убывающая геометрическая прогрессия
S₄ -?
{b₁ b₄ =3b₂
{b₁ + b₃=15

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*b₁*q³=3*b₁*q         {b₁²*q³ - 3b₁q=0
{b₁+b₁q² =15               {b₁(1+q²)=15

b₁q (b₁q² -3)=0
b₁q=0                  b₁q² -3=0          
b₁=0 - нет           b₁q² =3
q=0 - нет             b₁= 3/q²

b₁(1+q²)=15
b₁= 15   
      1+q²
 15   =   3  
1+q²     q²
15q² =3(1+q²)
15q² -3q² = 3
12q² =3
q² = 3/12
q² = 1/4
q₁ = -1/2
q₂ = 1/2

b₁ = 3  = 12
      ¹/₄
При q= -1/2:
S₄ = 12((-¹/₂)⁴ -1) =  12(¹/₁₆ -1) =  - 24 (¹⁵/₁₆) = 8 * (¹⁵/₁₆) = 15/2 =7.5
            ⁻¹/₂ - 1              ⁻³/₂                    -3

При q =1/2
S₄ = 12((¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = -12*2*(¹⁵/₁₆) = 24 *(¹⁵/₁₆) = 45/2=22.5
            ¹/₂ -1                ⁻¹/₂                -1
Ответ: 7,5  и  22,5

Answer 2

10.01. Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а ее разность d. Тогда четвертый член будет равен a + 3d, а шестой член a + 5d. По условию задачи имеем следующее уравнение: (a + 3d)(a + 5d) = (a)(a + 8d) + 60. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: a^2 + 8ad + 15d^2 = a^2 + 8ad + 60. Таким образом, 15d^2 = 60, откуда получаем d^2 = 4 и d = 2. Зная разность, можем найти первый член a = 4 - 3d = 4 - 6 = -2. Сумма первых трех членов прогрессии будет равна S = (3/2)(2a + 2d) = (3/2)(-4 + 4) = 0.

10.24. Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а ее знаменатель q. Тогда четвертый член будет равен aq^3, а первый a. По условию задачи имеем следующее уравнение: aq^3 - a = 26/3. Также известно, что aq^2 - a = 8/3. Вычтем второе уравнение из первого: aq^3 - aq^2 = 26/3 - 8/3 = 18/3 = 6. Факторизуем левую часть уравнения: a(q^3 - q^2) = 6. Так как q^3 - q^2 = q^2(q - 1) = 6, то получаем q^2 = 6/(q - 1). Подставим это выражение во второе уравнение: a(6/(q - 1)) - a = 8/3. Упростим уравнение: 6a/(q - 1) - a = 8/3. Приведем к общему знаменателю: 6a - a(q - 1) = 8(q - 1)/3. Раскроем скобки: 6a - aq + a = 8q/3 - 8/3. Упростим: 5a - aq = 8q/3 - 8/3. Выразим a через q: a = (8q/3 - 8/3)/(5 - q). Подставим это выражение в первое уравнение: (8q^4/3 - 8q^3/3)/(5 - q) - (8q/3 - 8/3)/(5 - q) = 26/3. Упростим уравнение: (8q^4/3 - 8q^3/3 - 8q/3 + 8/3)/(5 - q) = 26/3. Приведем к общему знаменателю: (8q^4 - 8q^3 - 8q + 8)/(3(5 - q)) = 26/3. Умножим обе части уравнения на 3(5 - q): 8q^4 - 8q^3 - 8q + 8 = 26(5 - q). Раскроем скобки: 8q^4 - 8q^3 - 8q + 8 = 130 - 26q. Приравняем все слагаемые к нулю: 8q^4 - 8q^3 - 8q + 8 - 130 + 26q = 0. Упростим уравнение: 8q^4 - 8q^3 + 18q - 122 = 0. Решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся численными методами или графическим методом для нахождения корней.

10.29. Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а ее знаменатель q. Тогда сумма первых семи членов будет равна S = a(1 - q^7)/(1 - q) = 635. Таким образом, получаем уравнение: a(1 - q^7) = 635(1 - q). Раскроем скобки: a - aq^7 = 635 - 635q. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: aq^7 - 635q + a - 635 = 0. При a = 2 и q = 2 получаем уравнение: 2(2^7) - 635(2) + 2 - 635 = 0. Решить это уравнение можно численными методами или графическим методом.

10.31. Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а ее знаменатель q. Тогда второй член будет равен aq, а произведение первого и четвертого членов будет равно a(aq^3) = a^2q^3. По условию задачи имеем следующее уравнение: aq - a^2q^3 = 3(a + aq) + 15. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: aq - a^2q^3 = 3a + 3aq + 15. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: aq - a^2q^3 - 3a - 3aq - 15 = 0. Факторизуем левую часть уравнения: aq(1 - aq^2) - 3(a + aq) - 15 = 0. Раскроем скобки: aq - a^3q^3 - 3a - 3aq - 15 = 0. Упростим уравнение: -a^3q^3 - 2aq - 3a - 15 = 0. Решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся численными методами или графическим методом для нахождения корней.

Надеюсь, эти пояснения помогут вам решить задачи по геометрической прогрессии. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.