Question

Интеграл 1/2t^2dt интеграл x^2(1+2x)dxинтеграл ^3√x^2dxинтеграл xdx/2√xинтеграл x-^3√x^2/√x dxинтеграл (1+cosx)dx

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{1}{2t^2} dt= \frac{1}{2}\cdot \int t^{-2}dt= \frac{1}{2}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{2t} +C\\\\2)\; \; \int \; x^2(1+2x)dx=\int \; (x^2+2x^3)dx=\int x^2\, dx+2\, \int x^3\, dx=\\\\=\frac{x^3}{3}+2\cdot \frac{x^4}{4}+C=\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+C\\\\3)\; \; \int \, \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} +C=\frac{3\sqrt[3]{x^5}}{5}+C$

$4)\; \; \int \frac{x\, dx}{2\sqrt{x}}= \frac{1}{2} \, \int \, \sqrt{x}dx= \frac{1}{2} \, \int x^{\frac{1}{2}}\, dx= \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C= \frac{1}{3}\sqrt{x^3}+C\\\\5)\; \; \int \, \frac{x-\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} dx=\int \Big ( \frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} \Big )dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{6}})dx=\\\\=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3/2} - \frac{x^{\frac{7}{6}}}{7/6}+C= \frac{2\sqrt{x^3}}{3}-\frac{6\sqrt[6]{x^7}}{7}+C\\\\6)\; \; \int (1+cosx)dx=\int \, dx+\int \, cosx\, dx=x-sinx+C$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из данных интегралов по порядку:

1. Интеграл ∫(1/2t^2)dt: Для интегрирования данной функции мы используем стандартные правила интегрирования. Для данного случая, интеграл будет выглядеть следующим образом: ∫(1/2t^2)dt = (1/2) * ∫t^(-2)dt

Используя формулу степенного интеграла ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1), получаем: (1/2) * ∫t^(-2)dt = (1/2) * (t^(-2+1))/(-2+1) + C = -1/(2t) + C, где C - постоянная интегрирования.

2. Интеграл ∫(x^2(1+2x))dx: Для интегрирования этой функции, мы применим правила распределения и степенного интеграла: ∫(x^2(1+2x))dx = ∫(x^2 + 2x^3)dx

Разбиваем данный интеграл на две части и интегрируем каждую отдельно: ∫x^2 dx + ∫2x^3 dx = (x^(2+1))/(2+1) + (2x^(3+1))/(3+1) + C = (x^3)/3 + (2x^4)/4 + C = x^3/3 + x^4/2 + C, где C - постоянная интегрирования.

3. Интеграл ∫(∛x^2)dx: Для интегрирования данной функции, мы используем формулу степенного интеграла: ∫(∛x^2)dx = (∛x^(2+1))/(2+1) + C = (∛x^3)/3 + C = x/3∛x + C, где C - постоянная интегрирования.

4. Интеграл ∫(x dx)/(2√x): В данном интеграле мы можем упростить выражение под знаком интеграла, сократив один из корней: ∫(x dx)/(2√x) = ∫(x dx)/(2x^(1/2)) = (1/2) * ∫x^(1-1/2)dx

Используя формулу степенного интеграла, получаем: (1/2) * ∫x^(1-1/2)dx = (1/2) * (x^(1/2+1))/(1/2+1) + C = (1/2) * (2x^(3/2))/(3/2) + C = (x^(3/2))/(3√x) + C = x√x/3 + C, где C - постоя