Question

1) Интеграл корень х - корень кубический из хв квадрате - х в степени 1/2 2) Интеграл (1/корень 3-х2 + 1/ex)*dx 3) Интеграл (-cosx/2 - x3+4) 4) Интеграл sin(3П/2 + х/4)*dx 5) Интеграл 2х-5 - х3 - 8 / х3

Answer 1

$1.\quad \int (\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}-x^{\frac{1}{2}})dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}})dx=\\\\=-\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+C\\\\2.\quad \int (\frac{1}{\sqrt{3-x^2}}+\frac{1}{e^{x}}})}dx=arcsin\frac{x}{\sqrt3}-e^{-x}+C\\\\3.\quad \int (-cos\frac{x}{2}-x^3+4)dx=-2sin\frac{x}{2}-\frac{x^4}{4}+4x+C\\\\4.\quad \int sin(\frac{3\pi }{2}+\frac{x}{4})dx=-4cos(\frac{3\pi }{2}+\frac{x}{4})+C\\\\5.\quad \int (2x-5-x^3-\frac{8}{x^3})dx=$

$=2\cdot \frac{x^2}{2}-5x-\frac{x^4}{4}-8\cdot \frac{x^{-2}}{-2}+C=x^2-5x-\frac{x^4}{4}+\frac{4}{x^2}+C$

Answer 2

1) Рассмотрим первый интеграл: ∫ (√x - ∛x²)^(1/2) dx

Мы можем разложить подкоренное выражение: (√x - ∛x²)^(1/2) = ((x^(1/2)) - (x^(2/3)))^(1/2)

Далее, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов: (a - b)^(1/2) = (a^(1/2) - b^(1/2))*(a^(1/2) + b^(1/2))

Применяем эту формулу: ((x^(1/2)) - (x^(2/3)))^(1/2) = (((x^(1/2)) - (x^(2/3)))^(1/4))*(((x^(1/2)) + (x^(2/3)))^(1/4))

Теперь можно вычислить интеграл с помощью замены переменной. Обозначим (x^(1/2)) - (x^(2/3)) = u, тогда √x = u + (x^(2/3)).

Получаем новый интеграл: ∫ (((u + (x^(2/3))))^(1/4))*(((x^(1/2)) + (x^(2/3)))^(1/4))*dx

Дифференцируем u по x: du/dx = (1/2)*(x^(-1/2)) - (2/3)*(x^(-1/3))

dx = (3/2)*(x^(1/2))*(u + (x^(2/3)))^(-3/4)*du

Подставляем dx в интеграл: ∫ (((u + (x^(2/3))))^(1/4))*(((x^(1/2)) + (x^(2/3)))^(1/4))*(3/2)*(x^(1/2))*(u + (x^(2/3)))^(-3/4)*du

Выносим константу за знак интеграла: (3/2) * ∫ (((u + (x^(2/3))))^(1/4))*(((x^(1/2)) + (x^(2/3)))^(1/4))*(x^(1/2))*(u + (x^(2/3)))^(-3/4) du

Производим замену переменных: v = u + (x^(2/3)), тогда dv = (2/3)*(x^(-1/3))*du

Подставляем новые переменные в интеграл: (3/2)*(2/3) * ∫ (v^(1/4))*(v^(-3/4)) dv

Упрощаем выражение: ∫ v^(-1/2) dv = 2√v

Заменяем обратно переменные: 2√v = 2√(u + (x^(2/3)))

Итоговый ответ: ∫ (√x - ∛x²)^(1/2) dx = 2√((x^(1/2)) - (x^(2/3))) + C,

где C - произвольная константа.

2) Рассмотрим второй интеграл: ∫ (1/√(3 - x^2) + 1/e^x) dx

Воспользуемся формулой ∫ (1/√(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C

Тогда первое слагаемое ∫ (1/√(3 - x^2)) dx = arcsin(x/√3) + C1

И второе слагаемое ∫ (1/e^x) dx = -e^(-x) + C2

Итоговый ответ: ∫ (1/√(3 - x^2) + 1/e^x) dx = arcsin(x/√3) - e^(-x) + C,

где C - произвольная константа.

3) Рассмотрим третий интеграл: ∫ (-cos(x/2) - x^3 + 4) dx

∫ -cos(x/2) dx = -2sin(x/2) + C1

∫ -x^3 dx = - (1/4)x^4 + C2

∫ 4 dx = 4x + C3

Итоговый ответ: ∫ (-cos(x/2) - x^3 + 4) dx = -2sin(x/2) - (1/4)x^4 + 4x + C,

где C - произвольная константа.

4) Рассмотрим четвёртый интеграл: ∫ sin(3π/2 + x/4) dx

Воспользуемся формулой ∫ sin(a + bx) dx = (-1/b)cos(a + bx) + C

Тогда ∫ sin(3π/2 + x/4) dx = (-1/4)cos(3π/2 + x/4) + C

Итоговый ответ: ∫ sin(3π/2 + x/4) dx = (-1/4)cos(3π/2 + x/4) + C,

где C - произвольная константа.

5) Рассмотрим пятый интеграл: ∫ (2x - 5 - x^3) / (8/x^3) dx

Вынесем общий знаменатель за знак интеграла и упростим выражение: ∫ (2x - 5 - x^3)(x^3/8) dx

Раскроем скобки и вынесем константы за знак интеграла: (1/8) ∫ (2x^4 - 5x^3 - x^6) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫ 2x^4 dx = (2/5)x^5 + C1 ∫ -5x^3 dx = -(5/4)x^4 + C2 ∫ -x^6 dx = -(1/7)x^7 + C3

Итоговый ответ: (1/8)((2/5)x^5 - (5/4)x^4 - (1/7)x^7) + C,

где C - произвольная константа.