Question

3. (x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²) ≤ 0. Помогите решить​

Answer 1

Ответ:

(-∞, -2] ∪ (0, 1) ∪ [2, 3]

Объяснение:

Для решения данного неравенства сначала найдем все корни соответствующего уравнения. Для этого сначала раскроем скобки и упростим выражение:

(x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²) ≤ 0

(x - 1)(x - 2)(x²)(x-3)(2)(2-x)(2+x)(2-x) ≤ 0

(x-1)(x-2)x^2(x-3)(x-2)(x+2)(2-x)^2 ≤ 0

Здесь мы использовали формулы разности кубов и суммы кубов, чтобы упростить выражение второй скобки.

Теперь вычислим корни уравнения, равенства которому соответствуют неравенству:

x - 1 = 0 => x = 1

x - 2 = 0 => x = 2

x^2 = 0 => x = 0

x - 3 = 0 => x = 3

x + 2 = 0 => x = -2

2 - x = 0 => x = 2

Таким образом, мы нашли шесть корней: -2, 0, 1, 2, 2 и 3.

Для того чтобы определить знак выражения (x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²), нужно исследовать знак каждого из множителей в интервалах между найденными корнями.

Интервалы между корнями можно представить на числовой оси:

-∞ ────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────► +∞

-2 0 1 2 2 3

Проверим знак каждого множителя внутри каждого интервала. Например, в интервале от -∞ до -2:

(x - 1) < 0, так как x < 1

(x - 2) < 0, так как x < 2

x^2 > 0, так как квадрат числа всегда положителен

(x - 3) < 0, так как x < 3

(x - 2) < 0, так как x < 2

(x + 2) < 0, так как x < -2

(2 - x)^2 > 0, так как квадрат числа всегда положителен

Теперь умножим эти знаки и получим знак выражения в интервале между -∞ и -2:

(-) * (-) * (+) * (-) * (-) * (-) * (+) = (+)

Для интервала от -∞ до -2 знак выражения равен (+), для интервала от -2 до 0 - (-), для интервала от 0 до 1 - (+), для интервала от 1 до 2 - (-), для интервала от 2 до 2 - (+) и для интервала от 2 до 3 - (-).

Таким образом, мы получили последовательность знаков: + - + - + -. Значит, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -2], (0, 1) и [2, 3]. В этих интервалах выражение меньше или равно нулю.

Следовательно, решением исходного неравенства является объединение этих интервалов:

(-∞, -2] ∪ (0, 1) ∪ [2, 3].

Таким образом, все значения x, принадлежащие этим интервалам, удовлетворяют исходному неравенству.

Answer 2

Данное уравнение требует решения. Давайте разберемся.

Уравнение выглядит следующим образом:

(x² - 3x + 2) + (x³ - 3x²)(4 - x²) ≤ 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать методы алгебры и анализа функций. Первым шагом будет факторизация уравнения и определение интервалов, в которых оно удовлетворяет неравенству.

Факторизация уравнения

Давайте начнем с факторизации каждого слагаемого.

(x² - 3x + 2) можно факторизовать следующим образом:

(x - 1)(x - 2)

(x³ - 3x²)(4 - x²) можно факторизовать следующим образом:

(x²(x - 3))(x² - 4)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение с использованием факторизованных слагаемых:

(x - 1)(x - 2) + (x²(x - 3))(x² - 4) ≤ 0

Анализ функций

Теперь давайте проанализируем функцию, представленную в уравнении, чтобы определить интервалы, в которых она удовлетворяет неравенству.

1. Начнем с анализа множителя (x - 1)(x - 2). Чтобы определить знак этого множителя, мы можем построить знаковую таблицу, используя значения x = 1 и x = 2:

| x | (x - 1) | (x - 2) | |:--------:|:-------:|:-------:| | 0 | - | - | | 1 | 0 | - | | 2 | + | 0 | | 3 | + | + |

Из этой таблицы мы видим, что множитель (x - 1)(x - 2) положителен на интервале (2, +∞) и отрицателен на интервале (-∞, 1).

2. Теперь рассмотрим множитель (x²(x - 3))(x² - 4). Также построим знаковую таблицу для этого множителя:

| x | x²(x - 3) | x² - 4 | |:--------:|:---------:|:-------:| | -2 | - | - | | -1 | - | - | | 0 | 0 | - | | 1 | 0 | - | | 2 | + | 0 | | 3 | + | + |

Из этой таблицы мы видим, что множитель (x²(x - 3))(x² - 4) положителен на интервале (-∞, -2) объединенном с интервалом (2, +∞) и отрицателен на интервале (-2, 2).

Определение интервалов

Теперь, когда мы определили знаки каждого множителя, мы можем определить интервалы, в которых исходное уравнение удовлетворяет неравенству.

1. Если оба множителя отрицательны (в таблицах выше это соответствует значениям (-∞, 1) и (-2, 2)), то исходное уравнение будет положительным. В этом случае, неравенство не выполняется.

2. Если один из множителей положителен, а другой отрицателен (в таблицах выше это соответствует значениям (1, 2) и (2, +∞)), то исходное уравнение будет отрицательным. В этом случае, неравенство выполняется.

Таким образом, интервалы, в которых исходное уравнение удовлетворяет неравенству, это (1, 2) объединенное с (2, +∞).