Question

1. Розв'яжiть рiвняння: A) 9x² = 0; Б) -3x² = 11x; Г) x² + 49 = 0; E) 3x² + 8x + 7 = 0; B) x² - 36 = 0; Д) 3x² - 4x - 15 = 0; €) 9x² - 6x + 1 = 0. Ж) 2x² - 6x - 5 = 0. 2. Знайдіть корені рівняння, використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта: x² 5x + 4 = 0. - 3. Складіть рівняння 1 + √2 i 1 – √2. 4. Один з коренів рівняння у2 - y - b = 0 дорівнює 4. Знайдіть другий корінь і число b. - - 5. Один з коренів рівняння 3x2 - 21x + q = 0. на 4 менший від другого. Знайдіть ч. - 6. Не розв'язуючи рівняння 3x² - 7x - 11 = 0. Знайдіть a) x1x2 - 2x1 - 2x2; б) x² + x2. - (x+1)2 (x-1)2 2x-1 - 7. Знайдіть корені рівняння: 12 3 4 8. Знайдіть усі значення параметра а при яких сума коренів рiвняння x² (a² - 5a)x - 1 + 5 - : 0 дорівнює -6.​

Answer 1

1. A) 9x² = 0

Рішення: x = 0

Б) -3x² = 11x

Рішення: x = 0 і x = -11/3

Г) x² + 49 = 0

Рішення: Рівняння не має дійсних коренів.

E) 3x² + 8x + 7 = 0

Рішення: x = -1 і x = -7/3

B) x² - 36 = 0

Рішення: x = 6 і x = -6

Д) 3x² - 4x - 15 = 0

Рішення: x = 3 і x = -5/3

€) 9x² - 6x + 1 = 0

Рішення: x = 1/3 і x = 1/3

Ж) 2x² - 6x - 5 = 0

Рішення: x = -1 і x = 5/2

Використовуючи теорему Вієта, знайдемо корені рівняння x² + 5x + 4 = 0:

Сума коренів: -5

Добуток коренів: 4

Знаючи ці значення, ми можемо знайти корені:

x₁ = -4 і x₂ = -1

Щоб скласти рівняння з комплексними коренями 1 + √2 і 1 - √2, ми можемо використовувати формулу:

(x - (1 + √2))(x - (1 - √2)) = 0

Розв'яжіть це рівняння, і ви отримаєте бажані корені.

Один з коренів рівняння у² - у - b = 0 дорівнює 4. Щоб знайти другий корінь і число b, використовуйте формулу суми і добутку коренів (теорема Вієта).

Один з коренів рівняння 3x² - 21x + q = 0 менший на 4 від другого. Знову використовуйте теорему Вієта для знаходження взаємозв'язку між коренями.

Щоб знайти a) x₁x₂ - 2x₁ - 2x₂ і б) x² + x₂, використовуйте теорему Вієта для знаходження суми і добутку коренів рівняння.

Щоб знайти корені рівняння, спробуйте надати саме рівняння, і я допоможу вам знайти корені.

Щоб знайти всі значення параметра a, при яких сума коренів рівняння x²(a² - 5a) - 1 + 5 = 0 дорівнює -6, скористайтеся теоремою Вієта для суми коренів і знайдіть умову на параметр

Answer 2

1. Розв'язання рівнянь: A) 9x² = 0: Рішення: x = 0.

   Б) -3x² = 11x: Переносимо все на одну сторону: -3x² - 11x = 0. Розділяємо на -1: 3x² + 11x = 0. Рішення: x = 0 або x = -11/3.

   Г) x² + 49 = 0: x² = -49. Рішення: Рівняння не має дійсних коренів.

   E) 3x² + 8x + 7 = 0: Використаємо квадратне рівняння: D = b² - 4ac = 8² - 4 * 3 * 7 = 64 - 84 = -20. Так як дискримінант від'ємний, то рівняння не має дійсних коренів.

   B) x² - 36 = 0: x² = 36. Рішення: x = ±6.

   Д) 3x² - 4x - 15 = 0: Використаємо квадратне рівняння: D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 3 * (-15) = 16 + 180 = 196. x₁ = (-b + √D) / (2a) = (4 + 14) / 6 = 3. x₂ = (-b - √D) / (2a) = (4 - 14) / 6 = -1. Рішення: x₁ = 3, x₂ = -1.

   €) 9x² - 6x + 1 = 0: Використаємо квадратне рівняння: D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0. x = -b / (2a) = 6 / 18 = 1/3. Рішення: x = 1/3.

   Ж) 2x² - 6x - 5 = 0: Використаємо квадратне рівняння: D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 2 * (-5) = 36 + 40 = 76. x₁ = (-b + √D) / (2a) = (6 + √76) / 4. x₂ = (-b - √D) / (2a) = (6 - √76) / 4. Рішення: x₁ = (6 + √76) / 4, x₂ = (6 - √76) / 4.

2. Знайдемо корені рівняння x² + 5x + 4 = 0 за допомогою теореми Вієта: Сума коренів рівняння: x₁ + x₂ = -5. Добуток коренів рівняння: x₁ * x₂ = 4.

   Тепер знайдемо корені: x₁ = 1, x₂ = 4.

3. Щоб скласти рівняння з комплексними коренями 1 + √2 і 1 - √2, використаємо формулу квадратного рівняння: (x - (1 + √2))(x - (1 - √2)) = 0.

   Розкривши дужки і спростивши, отримаємо: x² - 2x - 1 = 0.

4. Один з коренів рівняння у² - y - b = 0 дорівнює 4. Знайдемо другий корінь і число b. За відомістю про суму коренів: x₁ + x₂ = 4, x₂ = 4 - x₁.

   Також за відомістю про добуток коренів: x₁ * x₂ = b.

   Підставимо x₂ в другу формулу: x₁ * (4 - x₁) = b.

   Розв'яжемо це рівняння відносно b: 4x₁ - x₁² = b.

   Тепер знаємо другий корінь і число b.

5. Один з коренів рівняння 3x² - 21x + q = 0 на 4 менший від другого. Знайдемо ці корені. Нехай один корінь дорівнює a, тоді другий корінь буде a + 4. Використаємо теорему Вієта: Сума коренів: a + (a + 4) = 2a + 4, Добуток коренів: a(a + 4) = a² + 4a.

   За відомістю про суму і добуток коренів: 2a + 4 = 21, a² + 4a = q.

   Розв'яжемо перше рівняння: 2a + 4 = 21, 2a = 21 - 4, 2a = 17, a = 17/2.

   Тепер знаємо значення a, і можемо знайти q: a² + 4a = (17/2)² + 4 * (17/2) = 289/4 + 34 = 323/4.

   Таким чином, a = 17/2 і q = 323/4.

6. Для обчислення a) і б) необхідно знати корені рівняння 3x² - 7x - 11 = 0. Знайдемо їх спочатку: Використаємо квадратне рівняння: D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 3 * (-11) = 49 + 132 = 181. x₁ = (-b + √D) / (2a) = (7 + √181) / 6, x₂ = (-b - √D) / (2a) = (7 - √181) / 6.

   a) x₁ * x₂ - 2x₁ - 2x₂: Підставимо значення коренів: ((7 + √181) / 6) * ((7 - √181) / 6) - 2 * ((7 + √181) / 6) - 2 * ((7 - √181) / 6).

   б) x₁² + x₂² - (x₁ + 1)² * (x₂ - 1)²: Підставимо значення коренів: ((7 + √181) / 6)² + ((7 - √181) / 6)² - (((7 + √181) / 6) + 1)² * (((7 - √181) / 6) - 1)².

7. Знайдемо корені рівняння 12x³ + 3x² - 27x - 6 = 0. Для цього можна використати різні методи, такі як метод Ньютона або перевірку цілих чисел.

8. Знайдімо всі значення параметра a при яких сума коренів рівняння x²(a² - 5a) - 1 + 5 = 0 дорівнює -6. Сума коренів рівняння може бути знайдена за теоремою Вієта: x₁ + x₂ = -b/a, -b/a = -6, b = 6a.

   Тепер знаємо, що b = 6a. Підставимо це у рівняння: x²(a² - 5a) - 1 + 5 = 0, x²(6a² - 30a) - 1 + 5 = 0.

   Знаючи це, можемо знайти всі значення параметра a, для яких рівняння має розв'язки.