Question

Найдите сумму всех целых значений k, при которых графики функции y=(k-2)*x^2+3*k*x^2+2 и y=k*x^2+k*x+4 не пересекаются

Answer 1

Пересечение происходит при одинаковых y. Приравняем правые части:

(k-2)x^2 + 3kx + 2 = kx^2 + kx + 4;

x^2(k - 2 - k) + 2kx - 2 = 0;

-2x^2 + 2kx - 2 = 0;

x^2 - kx + 1 =0. (*)

Пересечения не будет, если уравнение (*) не имеет корней, то есть дискриминант отрицательный.

D = k^2 - 4 < 0;

k^2 < 4;

-2 < k < 2.

Целые значения: -1, 0, 1. Их сумма равна 0.

Ответ: 0.

Answer 2

Для того чтобы найти сумму всех целых значений `k`, при которых графики функций `y = (k-2)*x^2 + 3*k*x^2 + 2` и `y = k*x^2 + k*x + 4` не пересекаются, нам нужно найти условия, при которых уравнения этих двух функций не имеют общих корней. Это означает, что их дискриминанты должны быть меньше нуля.

Для уравнения `y = (k-2)*x^2 + 3*k*x^2 + 2`:

Дискриминант равен `D1 = (3*k)^2 - 4*(k-2)*2`.

Для уравнения `y = k*x^2 + k*x + 4`:

Дискриминант равен `D2 = k^2 - 4*k*4`.

Условие, при котором графики не пересекаются, будет:

1. `D1 < 0`, и 2. `D2 < 0`.

Давайте рассмотрим эти условия по отдельности.

1. `D1 < 0`: `(3*k)^2 - 4*(k-2)*2 < 0` `9k^2 - 8k + 16 < 0`

Это неравенство можно решить с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

`D1 = (-8)^2 - 4 * 9 * 16 = 64 - 576 = -512`

Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение `9k^2 - 8k + 16 = 0` не имеет действительных корней. Это означает, что `9k^2 - 8k + 16` всегда положительно для всех целых значений `k`.

2. `D2 < 0`: `k^2 - 4k*4 < 0` `k^2 - 16k < 0`

Это неравенство можно решить с помощью факторизации:

`k(k - 16) < 0`

Здесь нам нужно найти интервалы значений `k`, при которых это неравенство выполняется. Факторизуя, мы видим, что `k` может быть отрицательным или находиться в интервале `(0, 16)`.

Теперь объединим оба условия:

1. `9k^2 - 8k + 16 > 0` (всегда выполняется) 2. `k` отрицательное или `(0, 16)`.

Исключим случай `k` отрицательное, так как в условии задачи говорится, что нужно найти целые значения `k`.

Таким образом, мы получаем, что `k` может принимать целые значения в интервале `(0, 16)`. Суммируем все целые значения `k` в этом интервале:

`k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15`

Сумма всех целых значений `k` в этом интервале равна:

`1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120`

Итак, сумма всех целых значений `k`, при которых графики указанных функций не пересекаются, равна `120`.