Question

F(x)=(х+3)(х+1) Иследовать график функции по алгаритму_ 1 Область определения 2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность 3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат Точки пересечения с осью ОХ: , где – решение уравнения . Точки пересечения с осью ОY: . 4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции 5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек 6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума. 7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба. 8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота. При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при . 9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

Answer 1

Function Analysis

To analyze the function F(x) = (x+3)(x+1), we will follow the given algorithm:

1. Domain: Determine the domain of the function. 2. Parity, Periodicity: Analyze the parity, periodicity, and symmetry of the function. 3. Intercepts: Find the points where the function intersects the coordinate axes. 4. Sign Intervals: Determine the intervals of the function's sign. 5. Derivative: Find the derivative of the function, its domain, and critical points. 6. Increasing, Decreasing, Extrema: Determine the intervals of increasing and decreasing, and find the points of extrema. 7. Concavity, Inflection Points: Find the intervals of concavity and the inflection points. 8. Behavior at Infinity and Discontinuity Points: Analyze the behavior of the function at infinity and near the points of discontinuity. 9. Graph Plotting: Plot the graph of the function, including additional points if necessary.

Let's go through each step in detail.

1. Domain

The domain of the function is the set of all real numbers since there are no restrictions on the values of x in the given function.

2. Parity, Periodicity

The function F(x) = (x+3)(x+1) is a polynomial function of degree 2. Polynomial functions are neither even nor odd. Therefore, the function is neither even nor odd.

The function is not periodic since it is not possible to find a positive value of T such that F(x) = F(x+T) for all x.

3. Intercepts

To find the points where the function intersects the coordinate axes, we set F(x) = 0 and solve for x.

Intercepts with the x-axis (F(x) = 0): (x+3)(x+1) = 0 x+3 = 0 or x+1 = 0 x = -3 or x = -1

Therefore, the function intersects the x-axis at x = -3 and x = -1.

Intercept with the y-axis (x = 0): F(0) = (0+3)(0+1) = 3

Therefore, the function intersects the y-axis at y = 3.

4. Sign Intervals

To determine the intervals of the function's sign, we can use a sign chart or test points in each interval.

Let's consider the intervals: - x < -3 - -3 < x < -1 - x > -1

For x < -3, we can choose x = -4 as a test point: F(-4) = (-4+3)(-4+1) = (-1)(-3) = 3 Since F(-4) > 0, the function is positive in the interval x < -3.

For -3 < x < -1, we can choose x = -2 as a test point: F(-2) = (-2+3)(-2+1) = (1)(-1) = -1 Since F(-2) < 0, the function is negative in the interval -3 < x < -1.

For x > -1, we can choose x = 0 as a test point: F(0) = (0+3)(0+1) = 3 Since F(0) > 0, the function is positive in the interval x > -1.

Therefore, the function is positive for x < -3 and x > -1, and negative for -3 < x < -1.

5. Derivative

To find the derivative of the function, we can apply the product rule:

F'(x) = (x+1) + (x+3)

Simplifying, we get: F'(x) = 2x + 4

The domain of the derivative is the same as the domain of the original function, which is all real numbers.

To find the critical points, we set the derivative equal to zero and solve for x:

2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2

Therefore, the critical point is x = -2.

6. Increasing, Decreasing, Extrema

To determine the intervals of increasing and decreasing and find the points of extrema, we can use the critical point and the sign of the derivative.

For x < -2, we can choose x = -3 as a test point: F'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 Since F'(-3) < 0, the function is decreasing in the interval x < -2.

For x > -2, we can choose x = 0 as a test point: F'(0) = 2(0) + 4 = 4 Since F'(0) > 0, the function is increasing in the interval x > -2.

Therefore, the function has a local minimum at x = -2.

7. Concavity, Inflection Points

To find the intervals of concavity and the inflection points, we can use the second derivative.

The second derivative of F(x) is: F''(x) = 2

The second derivative is a constant, and it is always positive. Therefore, the function is concave up for all x.

Since the second derivative is constant and does not change sign, there are no inflection points.

8. Behavior at Infinity and Discontinuity Points

To analyze the behavior of the function at infinity and near the points of discontinuity, we can find the limits as x approaches infinity and the points of discontinuity.

As x approaches infinity: lim(x->∞) F(x) = ∞

Therefore, the function has a vertical asymptote at x = ∞.

As x approaches -3: lim(x->-3) F(x) = (-3+3)(-3+1) = 0

As x approaches -1: lim(x->-1) F(x) = (-1+3)(-1+1) = 0

Therefore, the function has a hole at x = -3 and x = -1.

9. Graph Plotting

To plot the graph of the function, we can use the information we have gathered so far.

The function intersects the x-axis at x = -3 and x = -1, and the y-axis at y = 3. It has a local minimum at x = -2.

The function is positive for x < -3 and x > -1, and negative for -3 < x < -1.

The function is concave up for all x.

There is a vertical asymptote at x = ∞.

There are holes at x = -3 and x = -1.

Based on this information, we can plot the graph of the function F(x) = (x+3)(x+1).

(Note: The graph is not provided here as it cannot be rendered in plain text. Please use graphing software or online graphing tools to visualize the graph of the function.)

I hope this helps! Let me know if you have any further questions.