Question

11 класс. Задача: Скорость материальной точки изменяется по закону v(t)=3t+3/2√t . Найти путь, пройденный точкой в промежуток времени от t=0 до t=4

Answer 1

$V(t)=3t+\frac{3}{2}\sqrt{t}\; \; ,\; \; 0\leq t\leq 4\\\\S(t)=\int \limits _{a}^{b}V(t)\, dt=\int\limits^4_0(3t+\frac{3}{2}\sqrt{t}) \, dx=(\frac{3t^2}{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2})\Big |_0^4=\\\\=\frac{3\cdot 16}{2}+\sqrt{4^3}=3\cdot 8+2^3=24+8=32$

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного материальной точкой, мы можем воспользоваться интегралом скорости по времени на заданном интервале времени. В данном случае, вам нужно найти определенный интеграл функции скорости v(t) на интервале от t=0 до t=4:

$$S = \int_{0}^{4} v(t) dt$$

Для начала, найдем аналитическое выражение для скорости:

$$v(t) = 3t + \frac{3}{2}\sqrt{t}$$

Теперь проинтегрируем скорость по времени:

$$S = \int_{0}^{4} \left(3t + \frac{3}{2}\sqrt{t}\right) dt$$

Для упрощения вычислений, разделим это интеграл на два члена:

$$S = \int_{0}^{4} 3t dt + \int_{0}^{4} \frac{3}{2}\sqrt{t} dt$$

Теперь вычислим каждый из этих интегралов:

1. Интеграл от $3t$ по $t$:

$$\int_{0}^{4} 3t dt = \left[\frac{3t^2}{2}\right]_0^4$$

2. Интеграл от $\frac{3}{2}\sqrt{t}$ по $t$:

$$\int_{0}^{4} \frac{3}{2}\sqrt{t} dt = \left[\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right]_0^4$$

Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим:

1. Для первого члена:

$$\left[\frac{3 \cdot 4^2}{2}\right] - \left[\frac{3 \cdot 0^2}{2}\right] = 24$$

2. Для второго члена:

$$\left[\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}\right] - \left[\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}\right] = 12$$

Теперь сложим эти два члена:

$$S = 24 + 12 = 36$$

Итак, путь, пройденный точкой в промежуток времени от $t=0$ до $t=4$, равен 36 единицам длины (единицы зависят от единиц измерения скорости и времени).