Question

Помогите с решением задач. 1)Тело движется прямолинейно со скоростью U=2t^2+1. Найдите путь, пройденный телом за 5 секунд.2) Скорость движущейся точки изменяется по закону U=Rt + dt^2 м/с. Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1=1 до t2=4.

Answer 1

$1)\; \; V=2t^2+1\\\\S=\int\limits^5_0 (2t^2+1)\, dt=(\frac{2t^3}{3}+t)\Big |_0^5=\frac{2\cdot 5^3}{3}+5=\frac{265}{3}=88\frac{1}{3}\\\\2)\; \; V=Rt+dt^2\\\\S= \int\limits^4_1(Rt+dt^2)\, dt=(R\cdot \frac{t^2}{2}+d\cdot \frac{t^3}{3})\Big |_1^4=8R+\frac{64}{3}\, d-\frac{1}{2}\, R-\frac{1}{3}\, d=\\\\=\frac{15}{2}\, R+\frac{63}{3}\, d$

Answer 2

Для обоих задач нам даны зависимости скорости от времени. Для решения задач, нужно найти путь, пройденный телом или точкой за заданный промежуток времени.

1. Тело движется прямолинейно со скоростью U = 2t^2 + 1. Найдем путь, пройденный телом за 5 секунд.

Для нахождения пути, нужно проинтегрировать функцию скорости по времени:

Путь = ∫(от t=0 до t=5) U dt

Подставим выражение для скорости U = 2t^2 + 1:

Путь = ∫(от t=0 до t=5) (2t^2 + 1) dt

Проинтегрируем выражение:

Путь = (2/3)t^3 + t | (от t=0 до t=5)

Путь = (2/3)(5^3) + 5 - ((2/3)(0^3) + 0)

Путь = (2/3)*125 + 5

Путь = 83.33 + 5

Путь = 88.33 метра

Ответ: Тело пройдет 88.33 метра за 5 секунд.

2. Скорость движущейся точки изменяется по закону U = Rt + dt^2 м/с. Найдем путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1 = 1 до t2 = 4.

Для нахождения пути, нужно проинтегрировать функцию скорости по времени:

Путь = ∫(от t=1 до t=4) U dt

Подставим выражение для скорости U = Rt + dt^2:

Путь = ∫(от t=1 до t=4) (Rt + dt^2) dt

Проинтегрируем выражение:

Путь = (R/2)t^2 + (d/3)t^3 | (от t=1 до t=4)

Путь = (R/2)(4^2) + (d/3)(4^3) - ((R/2)(1^2) + (d/3)(1^3))

Путь = (R/2)*16 + (d/3)*64 - (R/2) - (d/3)

Путь = 8R + 64d - R - (2d/3)

Путь = 7R + (64d - 2d)/3

Путь = 7R + 62d/3

Ответ: Точка пройдет (7R + 62d/3) метра за промежуток времени от t1 = 1 до t2 = 4.