Question

Помогите пожалуйста решить. Тест 2. "Решение тригонометрических неравенств" 1) Решить неравенство 2sin x - \sqrt{2} <0   2) Решить неравенство 2cos 2x +1 >0   3)Найти решения неравенства, принеджелащие указанному промежутку tg x < - \sqrt{3}, x э(перевернутая "э") [ -\frac{П}{3} ; \frac{П}{2} )   4) Решить неравенство sin(x - \frac{П}{2} ) > - \frac{2}{2} (двойка верхняя в корне)

Answer 1

1. sinx<sgrt2/2;
-5pi/4 +2pi*k<x<pi/4+2pi*k.
2. cos2x>1/2;
-pi/3+2pi*k<2x <pi/3+2pi*k;
-pi/6+pi*k<x<pi/6+pi*k; k-Z

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из данных неравенств по отдельности:

1. Решение неравенства $2\sin(x) - \sqrt{2} < 0$:

Для начала, давайте выразим $\sin(x)$:

$2\sin(x) < \sqrt{2}$

$\sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь нам нужно найти углы $x$, для которых выполняется это неравенство. Так как $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ - целое число, и $\sin(x)$ положителен в первом и во втором квадрантах, то решением данного неравенства будет:

$x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)$, где $k$ - целое число.

2. Решение неравенства $2\cos(2x) + 1 > 0$:

Сначала выразим $\cos(2x)$:

$2\cos(2x) + 1 > 0$

$2\cos(2x) > -1$

$\cos(2x) > -\frac{1}{2}$

Теперь найдем углы $2x$, для которых выполняется это неравенство. Так как $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$ в точках $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число, и $\cos(2x)$ положителен в первом и четвертом квадрантах, решением данного неравенства будет:

$2x \in \left(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right)$, где $k$ - целое число.

Теперь разделим каждое решение на 2:

$x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right)$, где $k$ - целое число.

3. Решение неравенства $\tan(x) < -\sqrt{3}$ в интервале $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$:

Для начала, рассмотрим, в каких частях интервала $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ $\tan(x)$ отрицателен. Ответ: в части от $-\frac{\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{4}$ и от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$.

Теперь, так как $\tan(x)$ периодичен с периодом $\pi$, мы можем записать ответ в виде:

$x \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$