Question

Разложите на множители 1)a^3-27+3a^2-9a2)b^3+125+2b+103)3x+6y-x^3-8y^3

Answer 1

1)   a³ - 27 + 3a² - 9a = (a³ - 3³) + 3a(a - 3) = 
      =  (a - 3)(a² + 3a + 3²) + 3a(a - 3) = (a - 3)(a² + 3a + 9 + 3a) =
      = (a - 3)(a² + 6a + 9) = (a - 3)(a + 3)²

2)  b³ + 125 + 2b + 10 = b³ + 5³ + 2(b + 5) =
      = (b + 5)(b² - 5b + 5²) + 2(b + 5) = (b + 5)(b² - 5b + 25 + 2) =
      = (b + 5)(b² - 5b + 27)

3)  3x + 6y - x³ - 8y³ = 3(x + 2y) - (x³ + (2y)³) = 
     = 3(x + 2y) - (x + 2y)(x² - 2xy + (2y)²) = (x + 2y)(3 - (x² - 2xy + 4y²)) =
     = (x + 2y)(3 - x² + 2xy - 4y²)
---------------------------------------------
Использованы формулы суммы и разности кубов
c³ + d³ = (c + d)(c² - cd + d²)
c³ - d³ = (c - d)(c² + cd - d²)

Answer 2

Давайте разложим каждое выражение на множители по очереди:

1. a^3 - 27 + 3a^2 - 9a Мы можем заметить, что это является разностью кубов (a^3 - 27) и разностью квадратов (3a^2 - 9a). Разложим каждую часть по отдельности:

a^3 - 27 = (a)^3 - (3)^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9) 3a^2 - 9a = 3a(a - 3)

Теперь объединим оба разложения:

a^3 - 27 + 3a^2 - 9a = (a - 3)(a^2 + 3a + 9) + 3a(a - 3)

Теперь можно выделить общий множитель (a - 3):

a^3 - 27 + 3a^2 - 9a = (a - 3)(a^2 + 3a + 9 + 3a)

Упростим выражение:

a^3 - 27 + 3a^2 - 9a = (a - 3)(a^2 + 6a + 9)

Таким образом, первое выражение разложено на множители: (a - 3)(a^2 + 6a + 9).

2. b^3 + 125 + 2b + 10 Здесь мы также можем заметить разность кубов (b^3 + 125) и сложение линейных членов (2b + 10). Разложим каждую часть по отдельности:

b^3 + 125 = (b)^3 + (5)^3 = (b + 5)(b^2 - 5b + 25) 2b + 10 = 2(b + 5)

Теперь объединим оба разложения:

b^3 + 125 + 2b + 10 = (b + 5)(b^2 - 5b + 25) + 2(b + 5)

Теперь можно выделить общий множитель (b + 5):

b^3 + 125 + 2b + 10 = (b + 5)(b^2 - 5b + 25 + 2)

Упростим выражение:

b^3 + 125 + 2b + 10 = (b + 5)(b^2 - 5b + 27)

Таким образом, второе выражение разложено на множители: (b + 5)(b^2 - 5b + 27).

3. 3x + 6y - x^3 - 8y^3 Здесь нельзя применить простые формулы для разложения на множители. Для разложения этого выражения нужно применить другие методы, например, факторизацию методом группировки или использование формул для разложения суммы кубов и разности кубов. Давайте воспользуемся разностью кубов:

x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)

Теперь давайте рассмотрим первые два члена:

3x + 6y

Можем выделить общий множитель 3:

3x + 6y = 3(x + 2y)

Теперь у нас есть два члена, которые можно объединить:

3(x + 2y) - (x^3 - 8y^3) = 3(x + 2y) - (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)

Таким образом, третье выражение разложено на множители: 3(x + 2y) - (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2).