Question

X*(x^2+4)^(-1/2) найти интеграл. Пожалуйста, подробно с объяснением.

Answer 1

$\int x\cdot (x^2+4)^{-\frac{1}{2}}\cdot dx=[\; t=x^2+4,\; dt=2x\, dx\; ]\\\\=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{t}+C=\sqrt{x^2+4}+C$

Answer 2

Чтобы найти интеграл от функции $X \cdot (x^2+4)^{-\frac{1}{2}}$, мы будем использовать метод подстановки. Сначала давайте рассмотрим подходящую замену, чтобы упростить выражение в интеграле.

Пусть $u = x^2 + 4$. Тогда $du = 2x \, dx$ (по правилу дифференцирования сложной функции). Теперь давайте перепишем исходный интеграл с использованием $u$:

$\int X \cdot (x^2 + 4)^{-\frac{1}{2}} \, dx = \int X \cdot u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2x} \, du$

Теперь выражение стало немного проще, и мы можем разделить интеграл на две части:

$\int X \cdot u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2x} \, du = \frac{X}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x} \, du$

Избавимся от $x$ в знаменателе, выразив его через $u$:

$u = x^2 + 4 \implies x^2 = u - 4 \implies x = \sqrt{u-4}$

Теперь подставим это обратно в интеграл:

$\frac{X}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{u-4}} \, du$

Давайте решим этот интеграл. Обратите внимание, что данный интеграл отличается от стандартного интеграла $\int u^{-\frac{1}{2}} \, du$ на постоянный множитель $\frac{1}{\sqrt{u-4}}$. Тем не менее, мы можем выразить его через известный интеграл. Пусть $v = u - 4$, тогда $du = dv$, и интеграл преобразуется следующим образом:

$\frac{X}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{u-4}} \, du = \frac{X}{2} \int (v+4)^{-\frac{1}{2}} \, dv$

Сейчас у нас уже стандартный интеграл, и его решение довольно простое:

$\frac{X}{2} \int (v+4)^{-\frac{1}{2}} \, dv = X \cdot 2\sqrt{v+4} + C_1$

где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь осталось вернуться к переменной $u$, которая связана с $x$ через $u = x^2 + 4$:

$X \cdot 2\sqrt{v+4} + C_1 = X \cdot 2\sqrt{u+4} + C_1$