Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= 3 sin x cos x +1. Подробно

Answer 1

$y= 3\sin x\cos x +1$

Преобразуем выражение следующим образом:

$y= \dfrac{3}{2}\cdot2 \sin x\cos x +1$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$y= \dfrac{3}{2}\sin 2x+1$

Зная, что синус принимает значения из отрезка от -1 до 1, оценим заданное выражение:

$-1\leq \sin 2x\leq 1$

$\dfrac{3}{2}\cdot(-1)\leq \dfrac{3}{2}\cdot\sin 2x\leq \dfrac{3}{2}\cdot1$

$-\dfrac{3}{2}\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x\leq \dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{3}{2}+1\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x+1\leq \dfrac{3}{2}+1$

$-\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{3}{2}\sin 2x+1\leq \dfrac{5}{2}$

Значит, наименьшее значений функции равно $-\dfrac{1}{2}$, а наибольшее значение функции равно $\dfrac{5}{2}$.

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию $y = 3 \sin(x) \cos(x) + 1$ и найдем её наибольшее и наименьшее значения.

Первым шагом давайте проанализируем функцию $\sin(x) \cos(x)$. Заметим, что $\sin(x) \cos(x)$ можно представить как $\frac{1}{2} \sin(2x)$ с помощью тригонометрической формулы двойного угла. Таким образом, функция $y = 3 \sin(x) \cos(x) + 1$ может быть переписана как $y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1$.

Теперь мы видим, что функция $y$ зависит от $\sin(2x)$, которая может принимать значения от -1 до 1. Поскольку коэффициент перед $\sin(2x)$ положителен ($\frac{3}{2} > 0$), то наименьшее значение функции достигается, когда $\sin(2x) = -1$, а наибольшее значение достигается, когда $\sin(2x) = 1$.

Наименьшее значение: $\frac{3}{2} \sin(2x) + 1 = \frac{3}{2} (-1) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.$

Наибольшее значение: $\frac{3}{2} \sin(2x) + 1 = \frac{3}{2} (1) + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}.$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = 3 \sin(x) \cos(x) + 1$ равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее значение равно $\frac{5}{2}$.