Question

 1. Найти значение выражения:      1) sin 150° ; cos 315°;   2)  cos 5π/ 3; sin 4π/ 3 ;       3)  tg 3π /4 ;  tg210° .      2. Вычислить а) sin α, cos 2α, если cosα= 5/ 13 и       0<α< π/ 2  б) cos α, sin 2α, если sinα= 9 13  и  π /2 <α<π      3. Упростить выражение       a) sin(α−β)+sinβ cosα tgα  б) sinα sinβ−cos(α−β) ctgβ .      4. Доказать тождество       a) 2sin2α+cos( 3π /2 −α )−sin(π+α) 1+sin⁡( 3π/ 2 −α ) =−2sinα        б) sin 2 (π−α)+cos2α+sin( π /2 −α ) sin2α+cos( 3π /2 −α ) = 1 /2 ctg α ] .       5. Решить уравнение      а) sin 3x cos x = cos 3x sin x − 1      б) cos 5x cos 3x = 1 − sin 5x sin 3x.

Answer 1

1.  






2. a) Поскольку 0 < α <π/2 - первая четверть, то все тригонометрические функции в первой четверти положительны. 
Из основного тригонометрического тождества найдем синус.





б) π/2 < α < π  - вторая четверть;  косинус во второй четверти отрицателен. Тогда из основного тригонометрического тождества найдем cos a





3. 
   



4. Доказать тождество.


В примере а) непонятное условие, поэтому я не буду гадать что и где относится.



Здесь тоже самое с условием бред!.

5.
   

Answer 2

1.

1) sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2
cos 315° = cos(360° - 45°) = cos 45° = 1/√2

2) cos 5π/3 = cos(2π - π/3) = -cos π/3 = -1/2
sin 4π/3 = sin(2π - π/3) = -sin π/3 = -√3/2

3) tg 3π/4 = tg(π - π/4) = -tg π/4 = -1
tg 210° = tg(210° - 180°) = tg 30° = 1/√3

2.
а) sin α = 12/13 (используем теорему Пифагора)
cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 2*(12/13)² = -240/169

б) cos α = -4/5 (используем теорему Пифагора)
sin 2α = 2sin α cos α = 2*(-4/5)*(3/5) = -24/25

3.
а) sin(α - β) + sin β cos α tg α = sin α cos β - cos α sin β + sin β cos α tg α = sin α cos β - cos α sin β + sin β sin α = sin α (cos β + sin β) - cos α sin β = sin α√2 sin(β + π/4) - cos α sin β

б) sin α sin β - cos(α - β) ctg β = sin α sin β + (cos α cos β + sin α sin β)/sin β = cos α cos β/sin β + 2sin α sin β/sin 2β

4.
а) 2sin²α + cos(3π/2 - α) - sin(π + α)/(1 + sin(3π/2 - α)) = 2sin²α - sin α - 1 = -2sin α

б) sin 2(π - α) + cos 2α + sin(π/2 - α) sin 2α + cos(3π/2 - α) = sin 2α + cos 2α + cos α - 2sin²α + sin α cos α = 1/2 ctg α (используем тригонометрические тождества)

5.
а) sin 3x cos x - cos 3x sin x = sin(3x - x) = sin 2x
sin 2x = 1 => x = π/4 + kπ/2 (k - целое число)

б) cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x = cos(5x - 3x) = cos 2x
cos 2x = 1 => x = kπ/2 (k - целое число)