Question

Докажите что не существует рационального числа квадрат которого равен 17

Answer 1

Нам нужно доказать, что √17 является иррациональным числом.
Пусть оно является рациональным числом.
Тогда его можно представить в виде m/n, где m ∈ Z, n ∈ N и дробь несократимая.
Возведя в квадрат, получаем, что 17 = m²/n²
Тогда 17n² = m²
Чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы m ⋮ 17 тогда и n ⋮ 17, иначе данное равенство будет неверным, т.к. 17 - простое число.
Тогда дробь m/n будет сократимой, т.к. и числитель, и знаменатель кратны 17. Но это невозможно, поэтому дробь вида (m/n)² = 17 не существует ⇒ число 17 не может являться квадратом рационального числа, т.е. √17 - иррациональное число. 

Answer 2

Для доказательства того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 17, воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число, обозначим его как p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0 (т.к. мы говорим о рациональных числах). По условию, квадрат этого числа равен 17, т.е. (p/q)^2 = 17.

Раскрывая квадрат, получим p^2/q^2 = 17. Умножим обе части уравнения на q^2, чтобы избавиться от знаменателя: p^2 = 17q^2.

Теперь заметим, что p^2 - четное число, так как является результатом умножения целого числа (p) на само себя. Следовательно, p также является четным числом, т.е. p = 2k, где k - целое число.

Подставим это в уравнение: (2k)^2 = 17q^2. Раскроем скобки: 4k^2 = 17q^2.

Теперь заметим, что 4k^2 - четное число, а 17q^2 - нечетное число, так как 17 - нечетное. Но по условию эти два числа равны между собой. Это противоречие, так как нечетное число не может быть равным четному числу.

Таким образом, наше предположение о существовании рационального числа, квадрат которого равен 17, неверно. Значит, такого числа не существует.