Question

Разложите многочлен на множители z^3-8 64+s^3 125-x^3 1000+y^3​

Answer 1

1) z³ - 8 = z³ - 2³ = (z - 2)(z² + 2z + 4)

2) 64 + s³ = 4³ + s³ = (4 + s)(16 - 4s + s²)

3) 125 - x³ = 5³ - x³ = (5 - x)(25 + 5x + x²)

4) 1000 + y³ = 10³ + y³ = (10 + y)(100 - 10y + y²)

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, сначала давайте преобразуем выражение, чтобы оно стало более удобным для факторизации. Воспользуемся следующими равенствами:

1. Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
2. Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Многочлен:

$P(z, s, x, y) = z^3 - 8 + 64 + s^3 + 125 - x^3 + 1000 + y^3$

Разложим его по отдельности на каждое слагаемое:

1. $z^3 - 8$: это разность кубов, где $a = z$ и $b = 2$:

$z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$

2. $s^3 + 125$: это сумма кубов, где $a = s$ и $b = 5$:

$s^3 + 125 = (s + 5)(s^2 - 5s + 25)$

3. $x^3 - 1000$: это разность кубов, где $a = x$ и $b = 10$:

$x^3 - 1000 = (x - 10)(x^2 + 10x + 100)$

4. $y^3$: это куб независимой переменной $y$, и его нельзя разложить дальше.

Теперь объединим все множители:

$P(z, s, x, y) = (z - 2)(z^2 + 2z + 4) + (s + 5)(s^2 - 5s + 25) + (x - 10)(x^2 + 10x + 100) + y^3$

Это и есть разложение многочлена на множители.