Question

Решить квадратное неравенство: (х-3)^2>4

Answer 1

Ответ: x∈(-∞;1)U(5;+∞).

Объяснение:

$>4\\x^{2} -6x+9>4\\x^{2} -6x+5>0\\x^{2} -5x-x+5>0\\x*(x-5)-(x-5)>0\\(x-5)(x-1)>0$

-∞__+__1__-__5__+__+∞

x∈(-∞;1)U(5;+∞).

Answer 2

Для решения данного квадратного неравенства, давайте разберемся по шагам:

1. Раскроем квадрат в левой части неравенства:

   $(x - 3)^2 > 4$

   $x^2 - 6x + 9 > 4$

2. Переносим все члены на одну сторону неравенства:

   $x^2 - 6x + 5 > 0$

3. Теперь попробуем решить это квадратное неравенство, разбив его на интервалы:

   a) Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$:

   Для этого используем квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $ax^2 + bx + c = 0$.

   В данном случае, $a = 1$, $b = -6$, и $c = 5$.

   $x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$ $x = \frac{6 \pm 4}{2}$

   Получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = 1$.

   b) Теперь разбиваем числовую прямую на интервалы, используя найденные корни:

   $(-∞, 1)$, $(1, 5)$, $(5, ∞)$

4. Выбираем тестовую точку из каждого интервала и подставляем её в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале:

   • Для интервала $(-∞, 1)$: Подставим $x = 0$ $x^2 - 6x + 5 = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5 > 0$

   • Для интервала $(1, 5)$: Подставим $x = 3$ $x^2 - 6x + 5 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4 < 0$

   • Для интервала $(5, ∞)$: Подставим $x = 6$ $x^2 - 6x + 5 = 6^2 - 6 \cdot 6 + 5 = 5 > 0$

5. Итак, неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется на интервалах $(-∞, 1)$ и $(5, ∞)$.

Объединяя интервалы, получаем окончательное решение: $x \in (-∞, 1) \cup (5, ∞)$.