Question

В урне 3 белых и 6 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. а) Найдите вероятность того, что они одинакового цвета. б) Какое событие более вероятно: А – «шары одного цвета», В – « шары разного цвета»?

Answer 1

а)

Благоприятное число событий складывается из двух: число способов выбрать 2 шарика из 3 белых и число способов выбрать 2 шарика из 6 черных. Общее количество событий: выбрать 2 шарика из 3+6=9 любых.

$P(A)=\dfrac{C_3^2+C_6^2}{C_9^2} =\dfrac{\frac{3\cdot2}{1\cdot2} +\frac{6\cdot5}{1\cdot2} }{\frac{9\cdot8}{1\cdot2} } =\dfrac{3+15}{36} =\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$

б)

Вероятность события А уже вычислена в предыдущем пункте. Заметим, что если шары не одного цвета, то они разных цветов. Значит, события А и В противоположны. Пользуясь этим, найдем вероятность события В:

$P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}$

Так как $P(B)=P(A)$, то достать шары разных цветов и достать шары одного цвета - равновероятные события .

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы вероятности.

а) Чтобы найти вероятность того, что два вынутых шара будут одинакового цвета, нужно рассмотреть два случая: когда оба шара белые и когда оба шара черные.

Вероятность вытащить два белых шара: P(2 белых) = (количество способов выбрать 2 белых из 3) / (общее количество способов выбрать 2 из 9) = C(3, 2) / C(9, 2) = 3 / 36 = 1 / 12.

Вероятность вытащить два черных шара: P(2 черных) = (количество способов выбрать 2 черных из 6) / (общее количество способов выбрать 2 из 9) = C(6, 2) / C(9, 2) = 15 / 36 = 5 / 12.

Суммируя вероятности двух случаев, получаем общую вероятность того, что два вынутых шара будут одинакового цвета: P(одинакового цвета) = P(2 белых) + P(2 черных) = 1/12 + 5/12 = 6/12 = 1/2.

б) Для определения того, какое событие более вероятно - "шары одного цвета" (событие А) или "шары разного цвета" (событие В), нам необходимо сравнить вероятности этих двух событий.

P(шары одного цвета) = P(2 белых) + P(2 черных) = 1/2. P(шары разного цвета) = 1 - P(шары одного цвета) = 1 - 1/2 = 1/2.

Таким образом, вероятности событий А и В равны. Оба события равновероятны, и ни одно из них не более вероятно, чем другое.