Question

В урне 5 белых и 3 черных шаров. а)Из урны вынимают одновременно два шара. Найдите вероятность того, что они одинакового цвета. б)Какое событие, при условии, что из урны вынимают одновременно два шара, более вероятно: A - "шары одного цвета", В - "шары разных цветов"?

Answer 1

а)

Благоприятное число событий складывается из двух: число способов выбрать 2 шарика из 5 белых и число способов выбрать 2 шарика из 3 черных. Общее количество событий: выбрать 2 шарика из 8.

$P(A)=\dfrac{C_5^2+C_3^2}{C_8^2} =\dfrac{\frac{5\cdot4}{1\cdot2} +\frac{3\cdot2}{1\cdot2} }{\frac{8\cdot7}{1\cdot2} } =\dfrac{10+3}{28} =\dfrac{13}{28}$

б)

Вероятность события А уже вычислена в предыдущем пункте. Заметим, что если шары не одного цвета, то они разных цветов. Значит, события А и В противоположны. Пользуясь этим, найдем вероятность события В:

$P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{13}{28} =\dfrac{15}{28}$

Так как $P(B)>P(A)$, то вероятнее достать шары разных цветов, чем шары одного цвета.

Answer 2

а) Чтобы найти вероятность того, что два шара, вынутых из урны одновременно, будут одинакового цвета, нужно разделить число благоприятных исходов на общее число возможных исходов.

Число благоприятных исходов:

1. Вынуть 2 белых шара. В этом случае есть 5 способов выбрать первый белый шар и 4 способа выбрать второй белый шар.
2. Вынуть 2 черных шара. В этом случае есть 3 способа выбрать первый черный шар и 2 способа выбрать второй черный шар.

Общее число возможных исходов: Всего в урне 8 шаров, поэтому есть 8 способов выбрать первый шар и 7 способов выбрать второй шар (после выбора первого шара в урне остается 7 шаров).

Итак, вероятность того, что два шара будут одинакового цвета, равна: (5 * 4 + 3 * 2) / (8 * 7) = 34 / 56 = 17 / 28 ≈ 0.6071 (округляем до четырех знаков после запятой)

б) Чтобы определить, какое событие более вероятно, нужно сравнить вероятности событий A и B.

A - "шары одного цвета": Мы уже рассчитали вероятность этого события в пункте а): 0.6071

B - "шары разных цветов": Вероятность этого события можно найти как разность между 1 и вероятностью события A, так как события A и B исключают друг друга. P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.6071 = 0.3929 (округляем до четырех знаков после запятой)

Итак, вероятность события B ("шары разных цветов") равна примерно 0.3929, что меньше вероятности события A ("шары одного цвета"). Значит, событие A - "шары одного цвета" более вероятно, чем событие B - "шары разных цветов".