Question

Производная функции sinx равна cosx. Верно ли, что производная функции 1/sinx равна 1/cosx? Если да, то почему? Если нет, то почему? Побольше объяснений желательно.

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=\dfrac{1}{\sin x}$. Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\sin x$.

Производная сложной функции находится по формуле:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Основные формулы дифференцирования:

$(\sin x)'=\cos x$

$\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

Находим производную:

$y'=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot(\sin x)' =-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot\cos x= \boxed{-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}}$

Таким образом, производная функции $y=\dfrac{1}{\sin x}$ не равна $\dfrac{1}{\cos x}$.

Answer 2

Производная функции sin(x) равна cos(x)

Да, верно, что производная функции sin(x) равна cos(x). Это является одним из основных свойств тригонометрических функций.

Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента. В случае функции sin(x), производная показывает, как быстро меняется значение синуса при изменении аргумента x.

Формально, производная функции sin(x) вычисляется с помощью дифференцирования. Дифференцирование функции sin(x) приводит к получению функции cos(x). Это можно записать следующим образом:

d/dx(sin(x)) = cos(x)

Это утверждение можно подтвердить с помощью математических методов дифференцирования или с использованием математических программ, таких как Wolfram Alpha или Mathematica.

Производная функции 1/sin(x)

Теперь рассмотрим производную функции 1/sin(x). Чтобы вычислить производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования для частного функций.

Правило дифференцирования для частного функций гласит, что производная частного функций равна разности производной числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

Применяя это правило к функции 1/sin(x), получаем:

d/dx(1/sin(x)) = (d/dx(1) * sin(x) - 1 * d/dx(sin(x))) / (sin(x))^2

Теперь нам нужно вычислить производные числителя и знаменателя.

Производная числителя 1 равна нулю, так как производная константы равна нулю.

Производная знаменателя sin(x) равна cos(x), как мы уже установили ранее.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

d/dx(1/sin(x)) = (0 * sin(x) - 1 * cos(x)) / (sin(x))^2 = -cos(x) / (sin(x))^2

Таким образом, производная функции 1/sin(x) равна -cos(x) / (sin(x))^2.

Заключение

Таким образом, верно, что производная функции sin(x) равна cos(x), но производная функции 1/sin(x) не равна 1/cos(x). Производная функции 1/sin(x) равна -cos(x) / (sin(x))^2.