Question

Найдите число корней уравнения cosx-cos3x-sin2x = 0, принадлежащих промежутку {o;π] Смотреть ответ DarthSidious DarthSidious cosx-cos3x-sin2x=0 cosx-4cos^3(x)+3cosx-sin2x=0 4cosx-4cos^3(x)-2sinx*cosx=0 cosx(4-4cos^2(x)-2sinx)=0 1] cosx=0 --> x=pi/2+pi*n 2] 4-4cos^2(x)-2sinx=0 --> 2-2cos^2(x)-sinx=0 -->  2-2(1-sin^2(x))-sinx=0 --> 2-2+2sin^2(x)-sinx=0 --> sinx(2sinx-1)=0 -->      1) sinx=0 --> x=pi*n      2) 2sinx-1=0 --> sinx=1/2 --> x1=1/6 (12 pi n+pi); x2=1/6 (12 pi n+5 pi) Учитывая: 0<=x<=pi, x1=0, x2=pi/6; x3=pi/2; x4=5pi/6; x5=pi Ответ: 5

Answer 1

Давайте разберем уравнение и найдем все корни на интервале [0, π].

Исходное уравнение: cos(x) - cos(3x) - sin(2x) = 0

Давайте попробуем упростить его: cos(x) - 4cos^3(x) + 3cos(x) - sin(2x) = 0

Теперь сгруппируем члены: 4cos(x) - 4cos^3(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Извлечем общий множитель cos(x): cos(x)(4 - 4cos^2(x) - 2sin(x)) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. cos(x) = 0 Этот случай приводит к корням: x = π/2 + πn, где n - целое число.

2. 4 - 4cos^2(x) - 2sin(x) = 0 Для упрощения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества, такие как: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Теперь подставим это тождество: 4 - 4cos^2(x) - 2sin(x) = 0

Упростим уравнение: 4 - 4(1 - sin^2(x)) - 2sin(x) = 0 4 - 4 + 4sin^2(x) - 2sin(x) = 0 4sin^2(x) - 2sin(x) = 0

Теперь факторизуем: 2sin(x)(2sin(x) - 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

a) 2sin(x) = 0 Это приводит к корню: sin(x) = 0 x = 0, π

b) 2sin(x) - 1 = 0 Это приводит к корню: 2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2

Здесь у нас есть два дополнительных корня, связанных с sin(x) = 1/2: x1 = π/6 + 2πn x2 = 5π/6 + 2πn

Итак, мы нашли все корни уравнения на интервале [0, π]: x1 = 0 x2 = π/6 x3 = π/2 x4 = 5π/6 x5 = π

Всего 5 корней.