Question

Инвариант (7 лкасс) В клетчатом квадрате n × n одна угловая клетка белая, а все остальные -— черные. Разрешается взять любую строку или столбец квадрата и поменять в ней цвет каждой клетки.Можно ли такими операциями перекрасить все клетки квадрата в белый, если(a) n чётно(b) n нечётно(c) Пусть n > 4, но закрашена не угловая клетка, а соседняя с ней. При этом дополнительноможно перекрашивать любые диагонали (не только главные).а, б не надо, только в

Answer 1

даже я просто люблю тебя

Answer 2

Попробуем разобраться с каждым из пунктов:

(a) Если n чётно: В этом случае, у нас будет чётное количество белых и чёрных клеток изначально. Каждой операцией мы меняем цвет всех клеток в строке или столбце, то есть меняем чётное количество клеток. Таким образом, после любой операции у нас всегда будет чётное количество белых и чёрных клеток. Так как изначально одна клетка белая, а остальные черные (т.е., чётное количество белых и черных клеток), то мы никогда не сможем перекрасить все клетки в белый цвет. Ответ: нельзя.

(b) Если n нечётно: Аналогично предыдущему случаю, изначально у нас одна белая клетка и (n^2 - 1) черных клеток. Каждой операцией мы меняем цвет всех клеток в строке или столбце, то есть меняем нечётное количество клеток. Таким образом, после каждой операции у нас всегда будет нечётное количество белых и чёрных клеток. Так как изначально одна клетка белая, а остальные черные (т.е., чётное количество черных и нечётное количество белых клеток), то мы никогда не сможем перекрасить все клетки в белый цвет. Ответ: нельзя.

(c) Если n > 4 и закрашена не угловая клетка, а соседняя с ней: В этом случае, сначала давайте обратим внимание на угловые клетки. В квадрате размером n × n есть 4 угловые клетки. Изначально одна из них белая, а остальные черные. Теперь рассмотрим остальные клетки в квадрате. Из условия следует, что нам разрешено менять цвет любой диагонали (не только главные).

Давайте сначала рассмотрим случай, когда n > 4 и n нечётно. В этом случае у нас есть нечётное количество клеток в каждой строке и столбце, кроме угловой, которую мы можем перекрасить в белый. Теперь представьте себе, что мы разбиваем квадрат на 2 × 2 блока. Каждый такой блок имеет одну белую и три черных клетки. Теперь мы можем использовать операции перекраски диагоналей для каждого из этих блоков. Когда мы меняем диагональ внутри 2 × 2 блока, мы меняем цвет двух черных и одной белой клетки в этом блоке. После такой операции у нас останется одна черная клетка и одна белая клетка в каждом блоке. Теперь мы можем перейти к следующему 2 × 2 блоку и продолжить процесс.

Поскольку n нечётно, количество 2 × 2 блоков будет чётным, и в конечном итоге мы сможем перекрасить все клетки в белый цвет.

Таким образом, в случае (c) можно перекрасить все клетки в белый, если n > 4 и начально закрашена не угловая клетка, а соседняя с ней.