Question

Вопрос по тригонометрии. Имеем уравнение : 4sin^2x = tgx . Заменим tgx 4sin^2x = sinx / cosx Вопрос: Почему нельзя сделать так : 4sin^2x = sinx / cosx | *cosx 4sin^2x * cosx= sinx | : sinx (4sin^2x * cosx) / sinx = 0 4sinx*cosx = 0 | :4 И получается две серии корней sinx=0 или cosx=0 В чём ошибка? Почему так нельзя делать?

Answer 1

$4\sin^2x = \mathrm{tg}x$

Тангенс определен при $\cos x\neq 0\Rightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$4\sin^2x - \mathrm{tg}x=0$

$4\sin^2x - \dfrac{\sin x}{\cos x} =0$

$\sin x\left(4\sin x - \dfrac{1}{\cos x} \right)=0$

$\sin x\cdot \dfrac{4\sin x\cos x-1}{\cos x} =0$

$\sin x\cdot \dfrac{2\sin 2x-1}{\cos x} =0$

$\left[\begin{array}{l} \sin x =0\\ 2\sin 2x-1=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \sin x =0\\ \sin 2x=\dfrac{1}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x =\pi n \\ 2x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x =\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\\ x=(-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}\end{array}$

Ответ: $\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\ n, k\in\mathbb{Z}$

По поводу предлагаемого решения: домножить на cosx можно, поскольку это выражение не может быть нулевым. А вот разделить на sinx просто так нельзя, потому что мы потеряем корни. Когда мы делим на некоторое выражение, мы полагаем что оно не равно нулю. Но здесь при подстановке sinx=0 в исходное уравнение мы получаем верное равенство. И, наконец, еще: вообще при делении sinx на sinx получается 1, а не 0, но мы уже выяснили, что этого вовсе делать не надо.

Answer 2

Ошибка в вашем рассуждении связана с тем, что при делении на sinx вы не учитываете случай, когда sinx равно нулю. Деление на ноль не определено, поэтому вы не можете просто поделить обе стороны уравнения на sinx.

Итак, давайте рассмотрим ваш шаг:

4sin^2x * cosx = sinx

Затем вы хотите разделить обе стороны на sinx:

(4sin^2x * cosx) / sinx = 0

Здесь возникает проблема. Если sinx = 0, то вы действительно делите на ноль, что недопустимо. Это именно та ошибка, которую следует избегать при решении тригонометрических уравнений.

Чтобы правильно решить уравнение 4sin^2x = tgx, вам следует использовать другие методы, такие как преобразование тангенса в синус и косинус или другие тригонометрические тождества. Например, вы можете преобразовать tgx в sinx / cosx и затем преобразовать уравнение, чтобы получить более простой вид, а затем решить его с использованием тригонометрических тождеств.