Question

РЕШИТЕ СРОЧНО!! №1. Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. №2. Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей?

Answer 1

(1)
$a+b=9\\ b=9-a$

$(2a+b^2)_{min}=?\\ f(a)=2a+(9-a)^2=2a+81-18a+a^2=a^2-16a+81\\ f'(a)=(a^2-16a+81)'=2a-16\\\\ f'(a)=0\\ 2a-16=0\\ 2a=16\\ a=8\\ b=9-a=9-8=1\\ ----------------------------\\\\ f'(a)\\ -------[8]++++++\ \textgreater \ a\\\\ ----------------------------\\\\ f_{min}=f(8)$

Ответ:  $9=8+1$

---------------------------------------------
(2)
$P=2*(a+b)=12\\ a+b=6\\ b=6-a\\ ---------------------------\\\\ S(a)=a*b=a*(6-a)=6a-a^2\\ S_{max}=? S'(a)=(6a-a^2)'=6-2a\\\\ S'(a)=0\\ 6-2a=0\\ 2a=6\\ a=3\\\\ ----------------------------\\\\ S'(a)\\ ++++++[3]------\ \textgreater \ a\\\\ S_{max}=S(3)\\ a=3\\ b=6-3=3$

Прямоугольная клумба должна быть квадратной, что бы её площадь была максимальной! со стороной  $3$

Answer 2

№1. Пусть первое слагаемое равно x, а второе - y. Тогда задача состоит в том, чтобы минимизировать следующее выражение: 2x + y^2. При этом условие суммы слагаемых равной 9 записывается как x + y = 9.

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться методом подстановки или методом нахождения экстремумов функции. Но в данном случае, можно заметить, что наименьшее значение удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого будет, когда эти слагаемые будут равны между собой, то есть x = y.

Тогда x + y = 2x = 9, откуда x = 9/2 = 4.5. Значит, первое слагаемое равно 4.5, и второе тоже равно 4.5.

Ответ: 4.5 + 4.5 = 9.

№2. Чтобы максимизировать площадь прямоугольной клумбы, нужно выбрать её размеры таким образом, чтобы форма клумбы была квадратной, потому что квадрат имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников с одинаковым периметром.

Пусть сторона квадрата равна x метров. Тогда периметр квадрата равен 4x метров, и по условию задачи этот периметр должен быть равен 12 метрам: 4x = 12. Решаем уравнение: x = 12 / 4 = 3.

Таким образом, сторона квадрата (или длина и ширина прямоугольной клумбы) должна быть равна 3 метра, чтобы площадь клумбы была наибольшей.

Ответ: Размеры клумбы должны быть 3 м × 3 м.