Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= 1/2 x^3+7х-4x на отрезке [-1;2]​

Answer 1

Ответ:

на листе смотри

...............

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 + 7x - 4x\) на отрезке \([-1;2]\), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти критические точки: Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует. Найдем производную и приравняем её к нулю:

\[f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + 7 - 4 = 0\]

Решим уравнение \(\frac{3}{2}x^2 + 3 = 0\):

\[\frac{3}{2}x^2 = -7\]

\[x^2 = -\frac{14}{3}\]

Уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат вещественного числа не может быть отрицательным. Таким образом, у функции нет критических точек внутри отрезка \([-1;2]\).

2. Найти значения функции на концах отрезка: Вычислим значения функции в точках -1 и 2:

\[f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^3 + 7(-1) - 4(-1) = -\frac{1}{2} - 7 + 4 = -\frac{15}{2}\]

\[f(2) = \frac{1}{2}(2)^3 + 7(2) - 4(2) = 4 + 14 - 8 = 10\]

3. Сравнить значения: Сравним значения функции в критических точках (которых у нас нет) и на концах отрезка:

- Значение функции в критической точке (если бы она была) не влияло бы на результат. - Минимальное значение функции на отрезке \([-1;2]\) равно \(-\frac{15}{2}\) и достигается в точке \(x = -1\). - Максимальное значение функции на отрезке \([-1;2]\) равно 10 и достигается в точке \(x = 2\).

Таким образом, наименьшее значение функции равно \(-\frac{15}{2}\) и достигается в точке \(x = -1\), а наибольшее значение равно 10 и достигается в точке \(x = 2\).