Question

Решить неравенства методом интервалов (x+4)(2x-3)>0(5x-2)(4x+3)≤0С объяснением пожалуйста

Answer 1

Для решения неравенств с использованием метода интервалов, сначала нужно найти корни уравнения, заданного неравенством, и затем анализировать интервалы, на которых неравенство выполняется. В данном случае у нас есть два неравенства:

1. (x + 4)(2x - 3) > 0 2. (5x - 2)(4x + 3) ≤ 0

Давайте начнем с первого неравенства:

1. (x + 4)(2x - 3) > 0

Сначала найдем корни уравнения, заданного этим неравенством:

(x + 4)(2x - 3) = 0

Решим уравнение, чтобы найти корни:

1. x + 4 = 0 => x = -4 2. 2x - 3 = 0 => 2x = 3 => x = 3/2

Теперь у нас есть два корня: x = -4 и x = 3/2.

Чтобы решить неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Для этого выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов, образованных корнями уравнения и проверим знак выражения (x + 4)(2x - 3) в каждой точке.

Интервал 1: x < -4 Выберем x = -5 (любое значение меньше -4): (x + 4)(2x - 3) = (-5 + 4)(2*(-5) - 3) = (-1)(-13) = 13 (положительное)

Интервал 2: -4 < x < 3/2 Выберем x = 0 (любое значение между -4 и 3/2): (x + 4)(2x - 3) = (0 + 4)(2*0 - 3) = (4)(-3) = -12 (отрицательное)

Интервал 3: x > 3/2 Выберем x = 2 (любое значение больше 3/2): (x + 4)(2x - 3) = (2 + 4)(2*2 - 3) = (6)(4) = 24 (положительное)

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2. (5x - 2)(4x + 3) ≤ 0

Найдем корни уравнения:

1. 5x - 2 = 0 => 5x = 2 => x = 2/5 2. 4x + 3 = 0 => 4x = -3 => x = -3/4

У нас есть два корня: x = 2/5 и x = -3/4.

Используя метод интервалов, проверим знак выражения (5x - 2)(4x + 3) в каждом из трех интервалов:

Интервал 1: x < -3/4 Выберем x = -1 (любое значение меньше -3/4): (5x - 2)(4x + 3) = (5*(-1) - 2)(4*(-1) + 3) = (-5)(-1) = 5 (положительное)

Интервал 2: -3/4 < x < 2/5 Выберем x = 0 (любое значение между -3/4 и 2/5): (5x - 2)(4x + 3) = (5*0 - 2)(4*0 + 3) = (-2)(3) = -6 (отрицательное)

Интервал 3: x > 2/5 Выберем x = 1 (любое значение больше 2/5): (5x - 2)(4x + 3) = (5*1 - 2)(4*1 + 3) = (3)(7) = 21 (положительное)

Теперь мы знаем, в каких интервалах каждое из неравенств выполняется:

1. (x + 4)(2x - 3) > 0 выполняется в интервалах (-∞, -4) и (3/2, ∞). 2. (5x - 2)(4x + 3) ≤ 0 выполняется в интервале (-3/4, 2/5).

Чтобы найти общее решение обоих неравенств, нам нужно найти пересечение интервалов, в которых они выполняются. Общее решение будет соответствовать интервалу, в котором оба неравенства выполняются одновременно.

Из анализа видно, что оба неравенства выполняются только в интервале (3/2, 2/5). Таким образом, общее решение для данной системы неравенств:

3/2 < x < 2/5

Неравенство выполняется в этом интервале.