Question

Знайдіть f'(х), якщо f(х) = ctg10 + lnх. Знайдіть f’(x), якщо f(х) = √х + е^2.

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте спершу знайдемо похідну функції \(f(x) = \cot(10 \ln x)\).

Запишемо \(f(x)\) у вигляді композиції функцій:

\(f(x) = \cot(10 \ln x) = \cot(g(x))\),

де \(g(x) = 10 \ln x\).

Тепер використаємо ланцюгове правило для знаходження похідної \(f'(x)\):

\[f'(x) = -\csc^2(g(x)) \cdot g'(x).\]

Давайте розглянемо кожну частину цієї похідної окремо:

1. \(g(x) = 10 \ln x\). Знайдемо \(g'(x)\):

\[g'(x) = 10 \cdot \frac{1}{x} = \frac{10}{x}.\]

2. \(g(x)\) у вигляді \(10 \ln x\) нам вже дано, тому ми не будемо змінювати цю частину.

3. \(\csc^2(g(x))\) - це квадрат косекансу \(g(x)\). Косеканс визначається як обернена до синусу функція:

\[\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}.\]

Тобто \(\csc(g(x)) = \frac{1}{\sin(g(x))}\).

А синус визначається як:

\[\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.\]

Тому \(\sin(g(x)) = \frac{e^{i(10\ln x)} - e^{-i(10\ln x)}}{2i}\).

Щоб знайти \(\csc(g(x)) = \frac{1}{\sin(g(x))}\), нам потрібно обчислити \(\sin(g(x))\) та взяти обернену величину:

\[\sin(g(x)) = \frac{e^{i(10\ln x)} - e^{-i(10\ln x)}}{2i}.\]

Тепер візьмемо її обернену величину:

\[\csc(g(x)) = \frac{1}{\sin(g(x))} = \frac{1}{\frac{e^{i(10\ln x)} - e^{-i(10\ln x)}}{2i}} = \frac{2i}{e^{i(10\ln x)} - e^{-i(10\ln x)}}.\]

Тепер ми можемо записати похідну \(f'(x)\):

\[f'(x) = -\csc^2(g(x)) \cdot g'(x) = -\left(\frac{2i}{e^{i(10\ln x)} - e^{-i(10\ln x)}}\right)^2 \cdot \frac{10}{x}.\]

Це є похідна функції \(f(x) = \cot(10 \ln x)\).

Тепер розглянемо функцію \(f(x) = \sqrt{x} \cdot e^2\).

Для цієї функції нам знадобиться використати правило добутку для знаходження похідної. Запишемо \(f(x)\) у вигляді:

\[f(x) = \sqrt{x} \cdot e^2.\]

Для знаходження похідної \(f'(x)\) використаємо правило добутку:

\[f'(x) = (\sqrt{x})' \cdot e^2 + \sqrt{x} \cdot (e^2)'.\]

Розглянемо кожну частину окремо:

1. \((\sqrt{x})'\) - похідна від \(\sqrt{x}\). Для цього використовуємо степеневе правило:

\[(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

2. \((e^2)'\) - похідна від константи \(e^2\) дорівнює нулю, оскільки похідна константи завжди дорівнює нулю.

Тепер підставимо ці значення в наше вираз:

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^2 + \sqrt{x} \cdot 0 = \frac{e^2}{2\sqrt{x}}.\]

Отже, похідна функції \(f(x) = \sqrt{x} \cdot e^2\) дорівнює \(\frac{e^2}{2\sqrt{x}}).