Question

Помогите!!!! Подробно с объяснением!!!!!! Не вычисляя корней квадратного уравнения(имеющего корни) найти сумму квадратов и сумму кубов его корней: x^2-(√3-√2) x-√6=0

Answer 1

$x^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})x-\sqrt{6}=0\\\\x_1+x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\x_1*x_2=-\sqrt{6}\\\\x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\\\x_1^2+x_2^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-2(-\sqrt{6})=3-2\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}=5\\\\x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=\\=(x_1+x_2)((x_1^2+x_2^2)-x_1x_2)\\\\x_1^3+x_2^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(5+\sqrt{6})=\\=5\sqrt{3}-5\sqrt{2}+\sqrt{3*6}-\sqrt{2*6}=\\=5\sqrt{3}-5\sqrt{2}+\sqrt{3*3*2}-\sqrt{2*2*3}=$

$=5\sqrt{3}-5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}=\\=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

*** Для решения использована теорема Виета:

    $x^2+px+q=0\\x_1+x_2=-p\\x_1x_2=q$

а также, формулы квадрата суммы и суммы кубов:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Answer 2

Для нахождения суммы квадратов корней квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой Виета. Для данного уравнения x^2-(√3-√2)x-√6=0, сумма корней равна коэффициенту при x, деленному на коэффициент при x^2, но с обратным знаком. То есть,

сумма корней = (−(−√3+√2))/(1) = √3-√2.

Для нахождения суммы кубов корней, мы можем воспользоваться формулой (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Здесь a и b - корни уравнения. Выражение (√3-√2)^3 можно разложить и произвести вычисления. После некоторых преобразований, мы получим:

(√3-√2)^3 = (3√3 - 3√2 + 2√3 - 2√2) = (5√3 - 5√2).

Значит, сумма кубов корней равна:

сумма кубов корней = 5√3 - 5√2.

Таким образом, сумма квадратов корней равна √3-√2, а сумма кубов корней равна 5√3-5√2.