Question

Найти промежутки убывания функции f(x)=x^3-6x^2+5

Answer 1

Функция убывает на (0;4)

Answer 2

Для нахождения промежутков убывания функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 5, мы должны найти значения x, при которых функция убывает.

Для этого, мы можем воспользоваться производной функции. Производная функции f'(x) показывает, как функция меняется в зависимости от значения x. Если f'(x) < 0, то функция убывает в этой точке.

Давайте найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x^2 - 12x

Теперь, чтобы найти значения x, при которых функция убывает, мы должны решить неравенство f'(x) < 0.

3x^2 - 12x < 0

Выражение выше можно упростить, разделив его на 3:

x^2 - 4x < 0

Теперь давайте решим это неравенство. Мы можем использовать метод интервалов или построить график функции для визуализации промежутков убывания.

Решение методом интервалов:

1. Найдем точки, где функция равна нулю:

x^2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

2. Построим интервалы на основе этих точек и проверим знак функции между ними:

Интервал (-∞, 0): Выберем x = -1, чтобы проверить знак функции в этом интервале:

f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0

Функция f(x) положительна в интервале (-∞, 0).

Интервал (0, 4): Выберем x = 1, чтобы проверить знак функции в этом интервале:

f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0

Функция f(x) отрицательна в интервале (0, 4).

Интервал (4, +∞): Выберем x = 5, чтобы проверить знак функции в этом интервале:

f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0

Функция f(x) положительна в интервале (4, +∞).

Вывод:

Исходя из метода интервалов, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция f(x) убывает на интервале (0, 4).

Таким образом, промежутки убывания функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 находятся в интервале (0, 4).