Question

Помогите очень СРОЧНО надо Тема физический смысл интеграллов 1)Тело движеться прямолиненйно со скоростью v(t)=(2^2+1)(М/С).Найдите путь пройденный телом за первые 5 с 2)Скорость тела движущегося прямолинейно задается формулой v(t)=(12t-3t^2)(м/с).Найдите путь пройденный телом от начала его движения до остановки. 3)Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(6t+4)(м/с).Найдите длину пути пройденного телом за третью секунду.

Answer 1

Скорость - это производная от перемещения. Поэтому, если задана скорость, то путём интегрирования её по времени можно найти путь.

1. v(t) = t² + 1
Чтобы найти путь за первые 5 сек, надо найти определённый интеграл от 0 до 5 по времени:
$S(t)= \int\limits^5_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^5_0 {(t^2+1)} \, dt = \\ \\ =( \frac{1}{3}t^3+t)|_0^5= (\frac{1}{3}*5^3+5) - (\frac{1}{3}*0^3+0)= \frac{125}{3} +5= \frac{140}{3}$

2. v(t) = 12t - 3t²
Здесь аналогично, только надо найти пределы интегрирования. Понятно, что движение начинается с нулевой секунды. А вот момент остановки надо определить. Тело остановится, когда его скорость станет равна нулю:
v(t) = 12t - 3t² = 0;  3t (4 - t) = 0;  t = 0  и  t = 4
Отсюда вида, что тело остановится при t = 4. Нулевое значение не подходит по физическому смыслу.
Итак, интегрируем от 0 до 4:
$S(t) = \int\limits^4_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^4_0 {(12t - 3t^2)} \, dt =(6t^2-t^3)|_0^4= \\ \\ (6*4^2-4^3 ) - (6*0^2-0^3 )=96-64=32$

3. v(t) = 6t + 4
Аналогично, только опять надо найти пределы интегрирования. Ищем путь за третью секунду, это значит от 2 до 3:
$S(t) =\int\limits^3_2 {v(t)} \, dt = \int\limits^3_2 {(6t + 4)} \, dt = ( 3t^2+4t)|_2^3 = \\ \\ ( 3*3^2+4*3) - (3*2^2+4*2 )=39 - 20 = 19$

Везде результат в метрах, т.к. скорость была в м/с, а время в с.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из этих вопросов по порядку.

1. Для нахождения пути, пройденного телом, когда известна его скорость, вы можете использовать интеграл скорости по времени. Формула для пути (s) в зависимости от времени (t) выглядит следующим образом:

$s(t) = \int v(t) \, dt$

В данном случае, $v(t) = (2t^2 + 1)$ м/с, и нам нужно найти путь за первые 5 секунд (от $t = 0$ до $t = 5$):

$s(5) = \int_{0}^{5} (2t^2 + 1) \, dt$

Вычисляем интеграл:

$s(5) = \left[\frac{2}{3}t^3 + t\right]_{0}^{5}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интеграла:

$s(5) = \left[\frac{2}{3}(5^3) + 5\right] - \left[\frac{2}{3}(0^3) + 0\right]$

$s(5) = \frac{2}{3}(125) + 5$

$s(5) = \frac{250}{3} + 5$

$s(5) = \frac{250 + 15}{3}$

$s(5) = \frac{265}{3}$

Таким образом, путь, пройденный телом за первые 5 секунд, равен $\frac{265}{3}$ метров.

2. Для нахождения пути, пройденного телом, когда известна скорость в зависимости от времени, также используется интеграл. В данном случае, скорость $v(t) = (12t - 3t^2)$ м/с. Нам нужно найти путь от начала движения до остановки, что происходит, когда $v(t) = 0$.

$0 = 12t - 3t^2$

Решим это уравнение:

$3t^2 - 12t = 3t(t - 4) = 0$

Отсюда видно, что $t = 0$ (начало движения) и $t = 4$ (когда тело останавливается). Теперь мы можем найти путь от $t = 0$ до $t = 4$:

$s(4) = \int_{0}^{4} (12t - 3t^2) \, dt$

Вычисляем интеграл:

$s(4) = \left[6t^2 - t^3\right]_{0}^{4}$

Подставляем верхний и нижний пределы:

$s(4) = (6(4^2) - 4^3) - (6(0^2) - 0^3)$

$s(4) = (6(16) - 64) - (0 - 0)$

$s(4) = (96 - 64) - 0$

$s(4) = 32$ метра.

Таким образом, путь, пройденный телом от начала движения до остановки, равен 32 метрам.

3. Для нахождения длины пути, пройденного телом за третью секунду, можно использовать скорость $v(t) = (6t + 4)$ м/с. Для нахождения длины пути за определенное время, мы можем использовать следующую формулу:

$s(t) = \int_{0}^{t} (6\tau + 4) \, d\tau$

В данном случае, нам нужно найти длину пути за третью секунду, то есть при $t = 3$:

$s(3) = \int_{0}^{3} (6\tau + 4) \, d\tau$

Вычисляем интеграл:

$s(3) = \left[3\tau^2 + 4\tau\right]_{0}^{3}$

Подставляем верхний и нижний пределы:

$s(3) = (3(3^2) + 4(3)) - (3(0^2) + 4(0))$