Question

Дана функция , где [tex]f(x)= 3^{x}-2 [/tex]1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0;2]2. На каком отрезке функция  принимает наибольшее значение, равное 25, наименьшее значение, равное 1?3. Решите уравнение 

Answer 1

1.
$D_{f(x)}=R, \\ f'(x)= 3^{x}\ln3, \\ f'(x)=0, 3^{x}\ln3=0, \\ 3^{x}=0, \\ x\in\varnothing; \\ f(0)=3^{0}-2=-1; \\ f(2)=3^{2}-2=7; \\ \min\limits_{x\in[0;2]}f(x)=-1, \max\limits_{x\in[0;2]}f(x)=7.$
2.
$f(x)=25, 3^{x}-2=25, \\ 3^{x}=27, \\ 3^{x}=3^3, \\ x=3; \\ f(x)=1, 3^{x}-2=1, \\ 3^{x}=3, \\ x=1; \\ x\in[1;3].$
3.
$f(x)=-2x+3, 3^{x}-2=-2x+3,\\ 3^{x}=-2x+5,\\ y_1=3^{x}, y_2=-2x+5; \\ x\approx0,5.$

Answer 2

Давайте рассмотрим ваши вопросы по порядку.

1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3^x - 2 на отрезке [0;2]. Для этого нам нужно найти значения функции на граничных точках этого отрезка и значения в критических точках внутри отрезка.

   a. Первая граничная точка: x = 0 f(0) = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1

   b. Вторая граничная точка: x = 2 f(2) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7

   Теперь нам нужно найти критические точки внутри отрезка [0;2]. Для этого найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю: f'(x) = d/dx(3^x - 2) f'(x) = 3^x * ln(3)

   Теперь найдем x, при котором f'(x) = 0: 3^x * ln(3) = 0

   Это уравнение не имеет решений, так как 3^x всегда положительно, и произведение на ln(3) никогда не будет равно нулю.

   Значит, на отрезке [0;2] наибольшее значение функции равно 7 (в точке x = 2), а наименьшее значение равно -1 (в точке x = 0).

2. На каком отрезке функция принимает наибольшее значение, равное 25, и наименьшее значение, равное 1? Исходя из предыдущего ответа, мы знаем, что наибольшее значение функции на отрезке [0;2] равно 7. Поэтому на отрезке [0;2] функция не принимает значения 25 или 1. Для нахождения отрезка, на котором функция принимает эти значения, нам нужно рассмотреть другие интервалы.

3. Чтобы решить уравнение f(x) = 25, нужно найти x: 3^x - 2 = 25

   Добавим 2 к обеим сторонам уравнения: 3^x = 27

   Теперь возьмем логарифм от обеих сторон уравнения (например, натуральный логарифм): ln(3^x) = ln(27)

   Используем свойство логарифма, чтобы вывести x: x * ln(3) = ln(27)

   Теперь делим обе стороны на ln(3): x = ln(27) / ln(3)

   Теперь вычислим значение x: x ≈ 3

   Таким образом, уравнение f(x) = 25 имеет решение на интервале около x ≈ 3.

   Аналогично, чтобы решить уравнение f(x) = 1, нужно найти x: 3^x - 2 = 1

   Добавим 2 к обеим сторонам уравнения: 3^x = 3

   Теперь возьмем логарифм от обеих сторон: x * ln(3) = ln(3)

   Делим обе стороны на ln(3): x = ln(3) / ln(3)

   x = 1

   Таким образом, уравнение f(x) = 1 имеет решение x = 1.