Question

Sinx cos5x-sin9x cos3x=0​

Answer 1

Пользуясь тригонометрическими формулами перехода от произведения к сумме, получим

$\dfrac{1}{2}\Big(\sin 6x-\sin 4x\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(\sin12x+\sin 6x\Big)=0\\ \\ \sin 6x-\sin 4x-\sin 12x-\sin 6x=0\\ \\ \sin12x+\sin 4x=0\\ \\ 2\sin\dfrac{12x-4x}{2}\cdot \cos\dfrac{12x+4x}{2}=0\\\\ 2\sin 4x\cos8x=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$\sin 4x=0\\\\ 4x=\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_1=\dfrac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}}\\ \\ \cos8x=0\\ \\ 8x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{x_2=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi n}{8},n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала применим тригонометрические тождества к произведениям синусов и косинусов:

sinsα cosβ = 1/2 * (sin(α + β) + sin(α - β))
sinsα cosβ = 1/2 * (sin(α + β) - sin(α - β))

Теперь подставим эти тождества в уравнение:

1/2 * (sin(x + 5x) + sin(x - 5x)) - 1/2 * (sin(x + 9x) - sin(x - 9x)) cos3x = 0

Упрощаем выражение:

1/2 * (sin(6x) + sin(-4x)) - 1/2 * (sin(10x) - sin(-8x)) cos3x = 0

sin(-θ) = -sin(θ), поэтому:

1/2 * (sin(6x) - sin(4x)) + 1/2 * (sin(10x) + sin(8x)) cos3x = 0

Теперь объединяем слагаемые синусов:

1/2 * [sin(6x) - sin(4x) + sin(10x) + sin(8x) cos3x] = 0

Упрощаем выражение с помощью формулы суммы синусов:

1/2 * [2sin(7x)cos(-x) + 2sin(9x)cos(-x)] = 0

sin(-θ) = -sin(θ), поэтому:

1/2 * [2sin(7x)(-cos(x)) + 2sin(9x)(-cos(x))] = 0

Упрощаем еще раз:

[(-sin(7x)cos(x)) + (-sin(9x)cos(x))] = 0

Выносим общий множитель:

-1 * (sin(7x) + sin(9x))cos(x) = 0

Теперь у нас два возможных случая:

1) sin(7x) + sin(9x) = 0:
Решение этого уравнения дает нам значения x, при которых синусы суммируются до нуля (sin(7x) = -sin(9x)).

2) cos(x) = 0:
Условие cos(x) = 0 дает нам значения x, при которых косинус равен нулю.

Общее решение уравнения Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0 будет содержать решения из этих двух случаев.