Question

Докажите что x³-x кратно 6. Где x- целое число. Помогите пожалуйста

Answer 1

$x^3 - x = x (x^2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) = (x - 1) x (x + 1)$

Как видим, перемножаются три последовательных целых числа. Значит, одно из них будет делиться на 2. Также одно из трёх будет делиться на 3. А раз произведение делится и на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение x³ - x кратно 6, мы можем воспользоваться методом доказательства по индукции. Давайте разберемся с этим.

1. База индукции: Проверим, выполняется ли утверждение для x = 1.

   Подставляем x = 1: 1³ - 1 = 1 - 1 = 0.

   Очевидно, что 0 делится на 6 без остатка, поскольку 0 = 6 * 0. Таким образом, база индукции верна.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для некоторого целого числа k, то есть k³ - k кратно 6.

3. Шаг индукции: Мы должны доказать, что утверждение также верно для k + 1.

   Подставляем x = k + 1: (k + 1)³ - (k + 1)

   Раскрываем (k + 1)³: (k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1

   Теперь вычитаем (k + 1) из этого выражения: k³ + 3k² + 3k + 1 - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k - k - 1

   Упрощаем: k³ + 3k² + 3k - k - 1 = k³ + 3k² + 2k - 1

   Теперь мы можем воспользоваться предположением индукции: k³ - k кратно 6 (по предположению индукции).

   Поэтому, добавив 3k² + 2k - 1 к кратному 6 выражению, мы также получим кратное 6 выражение.

   Итак, мы доказали, что (k + 1)³ - (k + 1) также кратно 6.

Таким образом, у нас есть база индукции и шаг индукции, что позволяет заключить, что x³ - x кратно 6 для всех целых чисел x.