Question

Для функции f(x) найти первообразную график которой проходит через точку M(0;24) и f(x)=2e^x+3x^2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, мы будем интегрировать $f(x) = 2e^x + 3x^2$ с учетом постоянной интеграции ($C$). Первообразная функции $F(x)$ будет иметь следующий вид:

$F(x) = \int (2e^x + 3x^2) dx = 2\int e^x dx + 3\int x^2 dx$

Теперь вычислим интегралы по отдельности:

1. $\int e^x dx = e^x + C_1$, где $C_1$ - постоянная интеграции.

2. $\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2$, где $C_2$ - также постоянная интеграции.

Теперь объединим эти два интеграла:

$F(x) = 2(e^x + C_1) + 3\left(\frac{1}{3}x^3 + C_2\right) = 2e^x + \frac{1}{3}x^3 + 2C_1 + 3C_2$

Теперь нам нужно найти значения констант $C_1$ и $C_2$, используя информацию о точке $M(0, 24)$. Подставив $x = 0$ и $F(x) = 24$ в уравнение, мы можем найти значения этих констант:

$24 = 2e^0 + \frac{1}{3}(0)^3 + 2C_1 + 3C_2$

$24 = 2 + 0 + 2C_1 + 3C_2$

$2C_1 + 3C_2 = 24 - 2 = 22$

Теперь, имея значение $2C_1 + 3C_2 = 22$, вы можете выбрать любое значение $C_1$ и $C_2$ и получить соответствующую первообразную функции $F(x)$. Например, если вы установите $C_1 = 0$ и $C_2 = 0$, то первообразная будет следующей:

$F(x) = 2e^x + \frac{1}{3}x^3$

Эта функция $F(x)$ будет удовлетворять условию $F(0) = 24$.