Question

1. Найдите первообразную F функции f(x)=х^2, график которой проходит через точку А(2;1). Произольная постоянная С в этом случае будет равна? 2. Найдите первообразную F функции f(x)=40, график которой проходит через точку А(5;2). Произольная постоянная С в этом случае будет равна? 3. Найдите первообразную F функции f(x)=sinx, график которой проходит через точку А(пи;-1). Произольная постоянная С в этом случае будет равна?

Answer 1

1) ∫x²dx = x³/3 + C

1 = 2³/3 + C

C = 1 - 8/3 = - 5/3

2) ∫40dx = = 40x + C

2 = 40×5 + C

C = 2 - 200 = -198

3) ∫sin(x)dx = - cos(x) + C

-1 = -cos(π) + C

C = cos(π) - 1 = -1 - 1 = -2

Answer 2

1. Найдите первообразную F функции f(x) = x^2, график которой проходит через точку A(2, 1). Произвольная постоянная C в этом случае будет равна?

Чтобы найти первообразную F функции f(x) = x^2, мы должны найти антипроизводную функции f(x). Для этого используем правило степенной функции:

Правило степенной функции:

Для функции f(x) = x^n, где n ≠ -1, антипроизводная F(x) будет равна (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

В данном случае, функция f(x) = x^2, поэтому мы можем применить правило степенной функции с n = 2:

F(x) = (x^(2+1))/(2+1) + C

F(x) = (x^3)/3 + C

Так как график функции проходит через точку A(2, 1), мы можем использовать это условие, чтобы найти значение произвольной постоянной C:

F(2) = (2^3)/3 + C = 1

8/3 + C = 1

C = 1 - 8/3

C = -5/3

Таким образом, произвольная постоянная C в этом случае будет равна -5/3.

2. Найдите первообразную F функции f(x) = 40, график которой проходит через точку A(5, 2). Произвольная постоянная C в этом случае будет равна?

Для функции f(x) = 40, мы должны найти её первообразную F(x). Поскольку константа 40 не зависит от переменной x, значит, производная по x будет равна нулю. То есть, антипроизводная функции f(x) = 40 будет просто константой. Поэтому:

F(x) = 40x + C

Так как график функции проходит через точку A(5, 2), мы можем использовать это условие, чтобы найти значение произвольной постоянной C:

F(5) = 40(5) + C = 2

200 + C = 2

C = 2 - 200

C = -198

Таким образом, произвольная постоянная C в этом случае будет равна -198.

3. Найдите первообразную F функции f(x) = sin(x), график которой проходит через точку A(π, -1). Произвольная постоянная C в этом случае будет равна?

Для функции f(x) = sin(x), мы должны найти её первообразную F(x). Антипроизводная функции sin(x) будет равна -cos(x) + C. Поэтому:

F(x) = -cos(x) + C

Так как график функции проходит через точку A(π, -1), мы можем использовать это условие, чтобы найти значение произвольной постоянной C:

F(π) = -cos(π) + C = -1

-(-1) + C = -1

1 + C = -1

C = -1 - 1

C = -2

Таким образом, произвольная постоянная C в этом случае будет равна -2.