Question

Для функции f(x)=x^3 + 2 найдите первообразную, график которой проходит через точку A(2;15). Для функции f(x) = 1-2x найдите первообразную, график которой проходит через точку A(3;2). Найдите все первообразные для функции f(x)=2\sin{3x} -3x^{-4}.

Answer 1

Ответ:

F(x)=∫(x³+2)dx=x^4/4+2x+C

F(2)=2^4/4+2*2+C=15

8+C=15

C=15-8=7

F(x)=x^4/4+2x+7

2) F(x)=∫(1-2x)dx=x-x²+C

F(3)=3-3²+C=2

3-9+C=2

C-6=2

C=8

F(x)=x-x²+8

3)

∫((2/sin3x)-3*x^(-4))dx=2/3ln|tg(3x/2)|+3/3x^-3+C

∫2dx/sin3x=2/3∫dy/siny=2/3∫(2dt/(1+t²))*(1+t²)/2t=2/3∫dt/t=2/3ln|t|=

=2/3ln|tgy/2|=2/3ln|tg(3x/2)|+C

3x=y  dy/3=dx

tgy/2=t

siny=2t/(1+t²)

dy=2dt/(1+t²)

Answer 2

Нахождение первообразной для функции f(x) = x^3 + 2, проходящей через точку A(2;15)

Для нахождения первообразной функции f(x) = x^3 + 2, проходящей через точку A(2;15), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Итак, для нашей функции f(x) = x^3 + 2, мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Для функции f(x) = x^3 + 2, мы можем использовать формулу для нахождения первообразной степенной функции:

F(x) = (1/4)x^4 + 2x + C

где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение константы C, мы используем информацию о том, что график первообразной проходит через точку A(2;15). Подставим значения x = 2 и F(x) = 15 в уравнение первообразной:

15 = (1/4)(2^4) + 2(2) + C

Решая это уравнение, мы можем найти значение константы C:

15 = 4 + 4 + C

C = 15 - 8 = 7

Таким образом, первообразная функции f(x) = x^3 + 2, проходящая через точку A(2;15), будет иметь вид:

F(x) = (1/4)x^4 + 2x + 7

Нахождение первообразной для функции f(x) = 1 - 2x, проходящей через точку A(3;2)

Аналогично предыдущему примеру, мы хотим найти первообразную функции f(x) = 1 - 2x, проходящую через точку A(3;2).

Используем формулу для нахождения первообразной линейной функции:

F(x) = x - x^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Подставим значения x = 3 и F(x) = 2 в уравнение первообразной:

2 = 3 - 3^2 + C

Решая это уравнение, мы можем найти значение константы C:

2 = 3 - 9 + C

C = 2 + 6 = 8

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1 - 2x, проходящая через точку A(3;2), будет иметь вид:

F(x) = x - x^2 + 8

Нахождение первообразных для функции f(x) = 2sin(3x) - 3x^(-4)

Для нахождения первообразных функции f(x) = 2sin(3x) - 3x^(-4), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Используя таблицу первообразных, мы можем найти первообразные функции для каждого из слагаемых в функции f(x).

Первообразная для функции 2sin(3x) будет иметь вид:

F1(x) = -2/3cos(3x) + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Первообразная для функции -3x^(-4) будет иметь вид:

F2(x) = x^(-3) + C2

где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразные функции для функции f(x) = 2sin(3x) - 3x^(-4) будут иметь вид:

F(x) = -2/3cos(3x) + x^(-3) + C

где C - произвольная постоянная. Здесь мы объединили две первообразные в одну общую форму с постоянной C.