Question

Даю 50 баллов! Доказать неравенства: 2) x2 - 6xy +10y2 - 4y + 7 > 0 при всех действительных значениях x и y;

Answer 1

Ответ:

Объяснение:) x² - 6xy +10y² - 4y + 7 > 0 при всех действительных значениях x и y.     Док-во: x² - 6xy +10y² - 4y + 7 = x² - 6xy +9y² +у² - 4y + 4+3 = (x² - 6xy +9y²) + (у² -4y + 4)+3 = (х-3у)²+ (у-2)²+3>0 при любых х и у, т.к. (х-3у)²≥0 и (х-2)²≥0, чтд

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте попробуем преобразовать его. Исходное неравенство:

x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0

Сначала сделаем некоторые замены:

Пусть a = 1, b = -6, c = 10, d = -4, и e = 7. Тогда наше неравенство можно записать следующим образом:

ax^2 + bxy + cy^2 + dy + e > 0

Теперь давайте попробуем выразить это неравенство в более удобной форме. Для этого давайте рассмотрим квадратное уравнение:

ax^2 + bxy + cy^2 + dy + e = 0

Мы видим, что это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменных x и y. Если мы найдем его дискриминант D, то сможем определить характер его корней:

D = b^2 - 4ac

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, и значит, существуют такие x и y, что оно равно 0.

Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нам нужно, чтобы наше исходное неравенство было истинным для всех действительных значений x и y, значит, уравнение ax^2 + bxy + cy^2 + dy + e = 0 не должно иметь действительных корней. Следовательно, D должно быть меньше 0:

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 10 < 0

D = 36 - 40 < 0

D = -4 < 0

Таким образом, дискриминант D отрицателен, и уравнение ax^2 + bxy + cy^2 + dy + e = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, исходное неравенство x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0 выполняется для всех действительных значений x и y.